Пусть в треугольнике АВС сторона АВ больше стороны АС. Докажем, что угол С больше угла В. Для этого отложим на луче АВ отрезокAD, равный стороне АС. Треугольник АСD - равнобедренный. Следовательно, Ð1 = Ð2. Угол 1 составляет часть угла С. Поэтому Ð1 < ÐC. С другой стороны, угол 2 является внешним углом треугольника ВСD. Поэтому Ð2 > ÐB. Следовательно, имеем ÐC > Ð1 = Ð2 > ÐB. Следствие: В произвольном треугольнике против большего угла лежит большая сторона. Докажем, что если в треугольнике АВС угол С больше угла В, то и сторона АВ больше стороны АС. Действительно, эти стороны не могут быть равны, так как в этом случае треугольник АВС был бы равнобедренным и, следовательно, угол С равнялся бы углу В. Сторона АВ не может быть меньше стороны АС, так как в этом случае, по доказанному, угол С был бы меньше угла В. Остается только, что сторона АВ больше стороны АС.
Соединим точку K с точкой N, а точку M с точкой L. Получили четырёхугольник MKNL. В этом четырёхугольнике ∠MKN = ∠MLN = 90°, так как это вписанные в окружность углы, опирающиеся на диаметр MN.
Если одна прямая а перпендикулярна другой прямой b. то она перпендикулярна и прямой с, параллельной прямой а.
Поэтому KN ⊥ NL, a ML ⊥ MK. То есть у четырёхугольника MKNL все углы прямые, и поэтому он является прямоугольником. А у прямоугольника противоположные стороны равны, следовательно, MK = NL, что и требовалось доказать.
Следствие: В произвольном треугольнике против большего угла лежит большая сторона.
Докажем, что если в треугольнике АВС угол С больше угла В, то и сторона АВ больше стороны АС. Действительно, эти стороны не могут быть равны, так как в этом случае треугольник АВС был бы равнобедренным и, следовательно, угол С равнялся бы углу В. Сторона АВ не может быть меньше стороны АС, так как в этом случае, по доказанному, угол С был бы меньше угла В. Остается только, что сторона АВ больше стороны АС.
Доказательство:
Смотри рисунок на прикреплённом фото.
Соединим точку K с точкой N, а точку M с точкой L. Получили четырёхугольник MKNL. В этом четырёхугольнике ∠MKN = ∠MLN = 90°, так как это вписанные в окружность углы, опирающиеся на диаметр MN.
Если одна прямая а перпендикулярна другой прямой b. то она перпендикулярна и прямой с, параллельной прямой а.
Поэтому KN ⊥ NL, a ML ⊥ MK. То есть у четырёхугольника MKNL все углы прямые, и поэтому он является прямоугольником. А у прямоугольника противоположные стороны равны, следовательно, MK = NL, что и требовалось доказать.