Площа трикутника ABC = 54см². На стороні AB позначили точки A і D так що AD= DE= BE а на стороні AC точки AC точки M і N так що AM=MN=MC. Знайти площу чотирикутника BCNE

Если двугранные углы при основании равны. То, опустив все четыре апофемы и высоту пирамиды, найдем, что отрезки, соединяющие основание высоты пирамиды с основаниями апофем, равны по длине. Докажем это. Опустив одну апофему и проведя соответствующий отрезок, соединяющий высоту пирамиды и основание апофемы, найдем, что высота - это перпендикуляр, а апофема - это наклонная, причем эта наклонная перпендикулярна соответствующей стороне основания пирамиды, тогда по теореме обратной теореме "о трех перпендикулярах" найдем, что отрезок, соединяющий основание высоты и основание апофемы перпендикулярен стороне основания, и апофема и этот отрезок образуют линейный угол двугранного угла. Но т. к. по условию все двугранные углы равны, то равны и все отрезки, соединяющие основания высоты и апофем (это следует из равенства прямоугольных треугольников, каждый из которых составлен из высоты, апофемы и отрезка, соединяющего их основания). Что мы имеем? Т.к. указанные отрезки равны и перпендикулярны сторонам основания, то отсюда следует, что основание высоты пирамиды - это центр вписанной в основание окружности. Таким образом у нас есть две точки основания:
центр вписанной окружности (он же - основание высоты пирамиды) и точка пересечения диагоналей основания. Нужно теперь доказать, что эти точки не совпадают. По условию, основанием является равнобокая трапеция. Высота этой трапеции - это диаметр вписанной окружности, отсюда можно заключить, что центр вписанной окружности, находится на одинаковом расстоянии от оснований трапеции. Для точки пересечения диагоналей этого сказать нельзя. Пусть ABCD - это данная равнобокая трапеция, являющаяся основанием данной в условии пирамиды. Причем AD - большее основание, BC - меньшее основание трапеции. Пусть т. F - точка пересечения диагоналей. Проведя диагонали трапеции AC и BD. Найдем, что треугольники AFD и CFB подобны по двум углам (накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущих BD и AC равны). Но коэффициент подобия этих треугольников не равен 1 (k = AD/BC, но AD>BC, поэтому AD/BC>1), то есть эти треугольники не равны, а значит неравны и их высоты, проведенные из т. F, что означает, что т. F не равноудалена от оснований трапеции, в отличии о центра вписанной в трапецию окружности. ЧТД.

1) Обозначим радиус вписанной в прямоугольную трапецию окружности за х.
Свойство трапеции, в которую вписана окружность, - сумма оснований равна сумме боковых сторон.
Высота трапеции равна 2х.
Наклонная боковая сторона равна √((2х)²+(28-21)²) = √(4х²+49).
Поэтому 21+28 = 2х + √(4х²+49).
Перенесём 2х влево и возведём в квадрат.
(49-2х)² = 4х²+49.
2401 - 196х + 4х² = 4х²+49.
196х = 2401 - 49 =  2352.
х =  2352/196 = 12 см.
Высота трапеции равна 2х = 2*12 = 24 см.
Площадь трапеции равна 24*((21+28)/2) =  24* 24,5 = 588 см².

2) Примем один катет за х, второй за у.
Квадрат гипотенузы равен х²+у² (это площадь).
Площадь треугольника равна (1/2)ху.
По заданию х²+у² = 4*((1/2)ху).
х²+у² = 2ху.
х² - 2ху +у² = 0.
(х - у)² = 0.
х - у = 0.
х = у.
Это равнобедренный треугольник, его острые углы равны по 45 градусов.