Площина α проходить через вершини A і B рівнобічної трапеції ABCD (AB = CD) та точку E перетину її діагоналей. Доведіть, що центр кола, вписаного в трапецію ABCD,належить площині α.

Показать ответ

Ответ:

chernika25

30.01.2022 07:51

Можно сообразить. Есть теорема, утверждающая, что если соединить все соседние середины сторон четырехугольника, то получится параллелограмм. Получим: средние линии перпендикулярны тогда и только тогда, когда там ромб. Это бывает тогда и только тогда, когда равны соседние стороны. А это равносильно равенству диагоналей (т. к. они вдвое больше по свойству средней линии треугольника) . Вот такое доказательство, по крайней мере, для выпуклого четырехугольника. Для невыпуклого, если надо, можно привести аналогичные рассуждения.

0,0(0 оценок)

Ответ:

mlyz

25.06.2020 16:46

Для начало выведем некие следствия, пусть наши основания большее и меньшее соответственно равны b,c

. Пусть высота

тогда по условию
$\frac{b+c}{2}=h\\
$ . Заметим что из условия следует что трапеция РАВНОБЕДРЕННАЯ , так как только около нее можно описать окружность . Следовательно обозначим боковые стороны как

, диагонали у трапеции равны $d_{1}=d_{2}=d$ . Как известно у равнобедренной трапеций если высота равна средней линий , то диагонали будут взаимно перпендикулярны. Далее мы будем использовать этот факт . Тогда с одной стороны площадь трапеций равна
$S=\frac{d*d*sin90}{2}=\frac{d^2}{2}$ , с другой стороны
$S=\frac{b+c}{2}*h=h*h=h^2$ из чего следует $d^2=2h^2\\
d=\sqrt{2}h$
Рассмотрим треугольник BCD

радиус описанной около этого треугольника , будет равен радиусу описанного около трапеций ABCD

.
Площадь треугольника $S_{BCD}=\frac{c*h}{2}$ , так как у нас центр окружности делить нашу высоту в отношений 3:4

(как вы сказали от большего) то обозначим соотношения как 3x;4x

. Тогда высота трапеций и треугольника будет равна h=7x

. Значит площадь треугольника
$S_{BCD}=\frac{7x*c}{2}$ . Как известно по формуле $R=\frac{abc}{4R}$ вычислим наш радиус $R=\frac{7x\sqrt{2}*a*c}{4*\frac{7x*c}{2}}=10\\
a=\frac{20}{\sqrt{2}}$ . Теперь можно поступить так
1) По теореме Пифагора выразим радиус , зная отношения
2) Выразим радиус по формуле $R=\frac{adc}{4\sqrt{p(p-a)(p-d)(p-c)}}$

1) $(\frac{c}{2})^2+(3x)^2=10^2$
2) если все подставить перейдем на такое уравнение
$R=\frac{140cx}{\sqrt{-98x^2+280x+c^2-200}\sqrt{98x^2+280x-c^2+200}}$ оно равна 10

1) $c^2=400-36x^2\\
$ подставляя во второе уравнение
$\frac{140x\sqrt{400-36x^2}}{\sqrt{-98x^2+280x+400-36x^2-200}\sqrt{98x^2+280x-400+36x^2+200}}=10$
откуда решая это уравнение получаем
x=2