Площини а і в паралельні. Через точку о, яка знаходиться між цими площинами, проведено дві прямі. Одна з них перетинає площини а і в точках A1 і в1, а друга у точках A2 і В2 відповідно. Знайдіть кут ОА1А2, якщо кутB1OB2 = 34°, кут0В2B1 = 78°.

 Плоскости оснований  призмы параллельны. Следовательно,  плоскость MNK пересекает их по параллельным прямым ( свойство), и МL параллельно NK. 

ВМ=ND1=KD1=5. Треугольник ND1K равнобедренный,  ⇒ 

NK=ND1:sin45°=5√2 ( или по т.Пифагора). Аналогично ML=5√2 

а) Опустим из N перпендикуляр NH на АD.

AH=A1N=1, треугольник МАН равнобедренный – MH=√2. 

 NH=AA1=4√3 – из прямоугольного ∆ МНN  гипотенуза 

MN=(√(NH²+MH²)=√50=5√2 ⇒ MNKL - ромб. 

Треугольник АМН равнобедренный, MBL- равнобедренный, ⇒ ML ║АС,  МН ⊥ АС ⇒

HM⊥ML. По т. о 3-х перпендикулярах MN ⊥ML. 

Аналогично КL перпендикулярна ML. ⇒ 

углы MNKL прямые, он - квадрат. 

б) Продлим ML  в обе стороны до пересечения с прямыми . DA и DC в точках Р и Е соответственно.  Точки N и Р принадлежат плоскости АА1В1В, их можно соединить. Точки К и Е принадлежат плоскости DD1C1D, соединим их. Плоскость NPЕК  пересечет АА1 в точке Т, а СС1 в точке R. 

 Соединим Т с N и М, R с К и L. Шестиугольник MTNKRL  - сечение, площадь которого надо найти. Искомая площадь состоит из суммы площадей квадрата MNKL и площадей треугольников MTN и KRL.

Рассмотрим прямоугольный ∆ РАМ. Он подобен равнобедренному прямоугольнику МВL, следовательно, РА=АМ=1.

∆ ATP=∆ A1TN по катету и острому вертикальному углу при вершине Т. Следовательно, Т – середина АА1. AM=A1N, ⇒ ∆ АМT=∆ A1NT, откуда следует МТ=NT. Аналогично  R – середина СС1, и KR=LR. 

S ∆ PMN=S ∆ KLE = NM•PМ:2

Треугольник РАМ равнобедренный, след. РМ=АМ:sin45°=√2

S PMN=5√2•√2=5

Так как МТ - медиана, площадь треугольника MTN=5:2, а сумма площадей  равных ∆ MTN и ∆ KRL равна 5 

SMNKL=(5√2)²=50 

S MTNKRL= 50+5=55 (ед площади).

ДАНО: окружность,  AB-диаметр, DM-касательная, DA перпенд. DM

Док-ть: АС- биссектриса угла BAD

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО: проведем диаметр AB, такой, что он параллелен DM;
проведем перпендикуляр из центра окружности к касательной;
также проведем луч AC. 

Рассмотрим прямоугольник ADCO: AO=OC(как радиусы), СO= DA(т.к. прямые DM и AB параллельны, а OC  и DA - перпендикуляры)
Рассмотрим треугольник АСО: угол О=90 градусов, АО=ОС => треугольник равнобедренный => угол САО=АСО= (180-90)\2= 45 градусов
Угол АСО = DAC(как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и DM)
И так как угол DAO равен углу САО(DAO=CAO=45),то АС является биссектрисой угла OAD(или BAD- это просто один и тот же угол)