Плоскость a, проходящая через вершины A и B через четырёхугольника АВСD, перпендикулярна прямым AD и BC. Докажите, что если AD=BC, то четырёхугольник ABCD-прямоугольник.

Дана правильная четырехугольная пирамида SАВСД, длина бокового ребра которой равна L = 3 см, а стороны основания a =  2√3 см.

Проведём осевое сечение через 2 боковых ребра.

В сечении равнобедренный треугольник АSС с боковыми сторонами L = 3 см и основанием - диагональ квадрата основания d = a√2 = (2√3)*√3 = 2√6 см.

Высота Н пирамиды равна:

Н = √(L² - (d/2)²) = √(9 - 6) = √3 см.

Перпендикуляр из центра основания пирамиды на боковое ребро (пусть это ОК) - это высота треугольника ОSС, она равна (√3*√6)/3 = √2 см.

Искомый угол лежит в перпендикулярном сечении к боковому ребру.

В сечении - треугольник ВКД.

Апофема А = √(3² - (2√3/2)²) = √(9 - 6) = √3 см.

КД - высота, она равна 2S/L = (2*((1/2)*2√3*√6))/3 = 2√2 см.

То есть она как гипотенуза треугольника ОКД в 2 раза больше катета ОК, а угол КДО равен 30 градусов.

Отсюда искомый угол ВКД равен 2*60 = 120 градусов.

•Задача 1 (а)

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD (прямоугольный, так как угол BAD в прямоугольнике АВСD равен 90°), тогда по теореме Пифагора:

BD^2 = BA^2 + AD^2

BD^2 = 9 + 4

BD = v13 (корень из 13);

ответ: BD = корень из 13.

•Задача 2 (б)

1. EF = FH, треугольник FHG - равнобедренный (так как по условию угол HFG = углу FHG), прямоугольный (так как угол FHG = 90°), следовательно FH=HG=EF=2;

2. Рассмотрим треугольник FHG - прямоугольный, по теореме Пифагора:

FH^2 + HG^2 = FG^2
4 + 4 = FG^2
FG = 2v2 (2 корня из 2);

ответ: FG = 2 корня из 2.

•Задача 3 (в)

1. Треугольник ABC - равносторонний (AB=BC=AC=3);

2. AD - высота, но так как треугольник ABC - равносторонний, AD - медиана, высота, биссектриса (по свойству равносторонних треугольников, проведённая в нем высота также является медианой и биссектрисой), тогда, как медиана, AD делит BC на равные части BD = DC = BC/2 = 1,5см;

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD (так как угол ADB = 90°), по теореме Пифагора:

AD^2 = AB^2 - BD^2
AD^2 = 9 - 2,25
AD^2 = 6,75
AD ≈ 2,6см

ответ: AD≈2,6см.

•Задача 4 (г)

1. Диагонали ромба делятся в точке пересечения пополам, тогда LO=ON=LN/2=1,5см, KO=OM=KM/2=1см;

2. Рассмотрим треугольник LOK - прямоугольный (так как в точке пересечения диагонали перпендикулярны относительно друг друга, следовательно угол LOK = 90°), по теореме Пифагора:

LK^2=LO^2 + KO^2
LK^2=2,25+1
LK≈1,8см;

ответ: LK≈1,8см.

•Задача 5 (д)

1. Треугольник PQR - прямоугольный, по теореме Пифагора:

PR^2 = QP^2 + QR^2
PR^2 = 16 + 4
PR = 2v5 (2 корня из 5);

2. По условию PO = OR = PR/2 = v5 (корень из 5);

3. По теореме медиана QO равна подвиге гипотенузы, тогда PO = QO = корень из 5;

ответ: QO = корень из 5.

•Задача 6 (е)

1. Треугольник ABC - равнобедренный, следовательно, по свойствам равнобедренного треугольника, BH - медиана, биссектриса, высота;

2. Как медиана BH делит основание AC пополам: AH = HC = AC/2 = 2см;

3. Как высота BH образует прямой угол BHC, следовательно треугольник BHC - прямоугольный, тогда по теореме Пифагора:

BH^2 = BC^2 - HC^2
BH^2 = 25 - 4
BH = v2

ответ: BH = корень из 2.

•Задача 7 (ж)

1. Треугольники EHG и FHG - прямоугольные, рассмотрим треугольник EHG, по теореме Пифагора:

EH^2 = EG^2 - HG^2
EH^2 = 4-1
EH=v3 (корень из 3)

2. Рассмотрим также прямоугольный треугольник FHG, по т. Пифагора:

HF^2 = FG^2 - HG^2
HF^2 = 25-1
HF= 2v6;

3. EF = HF + EH = v3+2v6;

ответ: EF = v3+2v6.