Плоскость, параллельная плоскости основания правильной треугольной пирамиды, делит ее высоту в отношении 1:2, считая от вершины пирамиды. Сторона основания – 6 см. Найдите площадь данного сечения пирамиды.

Прямая АВ,  перпендикуляр АА1 на плоскость "а" и проекция на плоскость прямой АВ образуют прямоугольный треугольник с углом АВА1 = 30 градусов и прямым углом АА1В. В прямоугольном треугольнике против угла 30 градусов лежит катет равный половине гипотенузы. Следовательно, 1)    АА1= АВ/2 = 24/2 = 12 см. Из теоремы Пифагора (ВА1)²= (АВ)² – (АА1)² = 24² – 12² = 576 – 144 = 432.  Отсюда ВА1 = √432 = 12√3 Если АА1 обозначить Х, то АВ = 2Х. Тогда в общем виде квадрат длины проекции (ВА1)² = (2Х)² – X²=3Х², а ВА1 = Х√3.  Таким образом, можно сразу записать, что 2)    ВА1 = 8√3.  А вспомнив, что катет против 30 градусов равен половине гипотенузы, имеем  АВ = АА1*2 = 8*2 = 16 см 3)    Квадрат ВА1 = 15² = 225. И это равно 3Х². Т.е. 225 = 3Х².  Отсюда Х²=225/3 = 75. Тогда Х = √75 = 5√3. За Х мы приняли АА1. Значит АА1 = Х = 5√3. Тогда АВ = 2Х= 2*5√3 = 10√3

Чингисхан стремился к максимальному расширению подвластной ему территории. В 1207 году монгольские войска совершили поход на север, где покорили племена, жившие в южносибирской тайге.

Владения Монгольской державы охватили значительные территории, управлять ими из одного центра стало затруднительно.
Для организации государственной власти в отдаленных краях Чингисхан организовывал удельные владения — улусы, во главе которых ставил своих сыновей и ближайших родственников. Чингисхан стремился подчинить своей власти как можно больше степных племен. Помимо дани, покоренные кочевники поставляли в монгольское войско нукеров. Со временем монгольский владыка стал располагать огромным военным потенциалом.