. Плоскость, параллельная стороне AB треугольника ABC пересекает сторону AC в точке A1, а сторону BC в точке B1. Найдите отрезок A1B1, если AB=22 см., AA1:A1C=4:7. Если можно то с рисунком

Обозначим данный треугольник АВD. 

Примем его боковые стороны равными а. 

Проведем высоту ВН. 

В равнобедренном треугольнике с углом при вершине 120° углы при основании равны 30°. ⇒

АН=DH=а•cos30°=a√3/2⇒   AD=a√3

Продлим медиану АМ на её длину до т.С. 

АС=2 АМ=28. 

Соединим В и D с т.С. 

ВМ=DM по условию, АМ=МС по построению. Диагонали четырехугольника АВСD точкой пересечения делятся пополам. ⇒ АВСD – параллелограмм (по признаку).

По свойству параллелограмма сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов ВСЕХ его сторон. 

Противоположные стороны параллелограмма равны. 

АС²+BD²= 2 АВ²+2ВС² 

28²+а²=2а²+6а²⇒

 7а²=28•28

а²=4•4•7

а=4√7 см – длина боковых сторон треугольника. 

Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала ab{х2-х1;y2-y1}.
Модуль или длина вектора: |a|=√(x²+y²). У нас
|PS|=√[(-1-3)²+(3-0)²]=√25=5.
|SQ|=√[(-4+1)²+(-1-3)²]=√25=5.
|PT|=√[(0-3)²+(4-0)²]=√25=5.
Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.
Скалярное произведение: (a,b)=x1*x2+y1*y2.
У нас (PS*SQ)=(-4)*(-3)+3*(-4)=0, то есть вектора PS и SQ перпендикулярны.
(PS*PT)=(-4)*(-3)+3*4=24, то есть вектора PS и SQ  НЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫ.
Видимо, в условии ошибка. Точка Т должна иметь координаты Т(0;-4).
И тогда вектор |PT|= √[(0-3)²+(-4-0)²]=√25=5.
(PS*PT)=(-4)*(-3)+3*(-4)=0, то есть вектора PS и PT перпендикулярны.
Этого достаточно, чтобы сказать, что четырехугольник PSQT - квадрат.
Но для проверки координат точки Т(0;-4) найдем модуль вектора
|QT|=√[(0+4)²+(-4+1)²]=√25=5.
(SQ*QT)=(-3)*(4)+(-4)*(-3)=0, то есть вектора PS и PT перпендикулярны.
ответ: четырехугольник PSQT квадрат, при условии, что вершины имеют координаты: P(3;0), S(-1;3), Q(-4;-1), Т(0;-4).