Плоскость, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках А1 и С1 соответственно. АА1 : А1В = 3:2, А1С1=8 см. Найдите АС.

Средняя линия трапеции равна полусумме ее оснований.
Меньшее основание нам известно и оно равно 10. Осталось найти большее основание.
Опустим высоту трапеции, длина высоты будет равна меньшей стороне и равна 10. У нас получились квадрат и прямоугольный треугольник.
Рассмотрим прямоугольный треугольник. Т.к. острый угол равен 45, то и другой равен 45 ( по сумме углов треугольника). Значит треугольник равнобедренный с катетами равными 10.
Значит большее основание равно 10+10=20.
Средняя линия трапеции равна (10+20)/2=15

В треугольнике ABC DN - средняя линия по определению. Значит, по свойству средней линии ND параллельна AB.Отсюда следует параллельность ND и KB,так как KB = 1/2 AB. Имеем также, что ND = 1/2*AB = 1/2*10 = 5 (см).
Так как по условию задачи точка K - середина отрезка AB, то KB  = 1/2*10 = 5 (см).
Аналогично рассуждая,доказываем, что КD - средняя линия треугольника ABC,что KD параллельна NB, что KD = 1/2*BC  = 5 (см) и что BN  = 5 см.
Рассмотрим четырехугольник KBND. В нём ND параллельна KB и KD параллельна BN (по ранее доказанному). Также мы имеем, что NB = KD = 5 см и что KB = DN = 5 см. Значит, по определению данный четырехугольник - параллелограмм. А следуя из того, что NB = KD = KB = DN = 5 см, то получаем, что KBND - ромб. 
Найдем периметр данной фигуры.
P = 5*4 = 20 (см).
ответ: ромб; 20 см