Плоскость α, параллельная стороне ВС треугольника АВС, пересекает
стороны АВ и АС в точках M и N соответственно. Найдите длину отрезка
ВС, если МN равен 6 см, а АМ:МВ = 3:5.
а) 16 см;
б) 4,8 см;
в) 12 см;
г) другой ответ.

Две параллельные прямые пересекаются третьей прямой, поэтому выполняются следующие положения: углы 2 и 4 равны как вертикальные, сумма 4 и вертикального     угла углу 1 равна 180° как внутренние односторонние, значит сумма углов 1 и 2 равна 180°, угол 1 составляет 5 частей, угол 2     - 4 части, всего 9 частей, тогда 1 часть 180°: 9 = 20°.    угол 1         5·20° = 100°, угол 2       -        4·20° = 80°.    угол 4 равен 80°(как вертикальный углу 2). угол 3 и угол 4 – смежные, их сумма равна 180°.    угол 3 равен 180° - угол 4 = 180° -80° = 100°.

Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме высекаемых ими дуг.
Значит градусная мера дуги АВ плюс градусная мера дуги СD равна 120°.
Следовательно, сумма центральных углов <AОВ+<CОD=120°, а 0,5<AOB+0,5<COD=60°.
Пусть <AOB=α, a <COD=β тогда α/2+β/2=60°.
Длина хорды равна L=2R*Sin(α/2), где α - центральный угол, опирающийся на дугу, стягиваемую хордой.
В нашем случае:
11=2R*Sin(α/2) и 41=2R*Sin(β/2). Разделим первое уравнение на второе.
11/41=Sin(α/2)/Sin(β/2). Но β/2=60°-α/2. Тогда
11/41=Sin(α/2)/Sin(60-α/2) (1).
Пусть теперь α/2=γ (для простоты написания).
Далее сплошная тригонометрия.  
По формуле приведения: Sin(60°-γ)=Sin60°*Cosγ-Cos60°*Sinγ или
Sin(60°-γ)=(√3/2)*Cosγ-(1/2)*Sinγ. Подставим это значение в уравнение (1):
11/41=Sin(γ)/[(√3/2)*Cosγ-(1/2)*Sinγ] или
(11√3/2)*Cosγ-(11/2)*Sin(γ)=41Sin(γ) или (11√3)*Cosγ=93Sin(γ) (2).
Мы знаем, что Cos²γ+Sin²(γ)=1.
Тогда, возведя уравнение (2) в квадрат, получим:
363*(1-Sin²(γ))=8649*Sin²(γ). Отсюда Sin²(γ)=363/9012≈0,04, а Sin(γ)=0,2.
Помня, что мы приняли α/2=γ, имеем: 11=2R*Sin(γ) или R=11/2*0,2=27,5.
ответ: R=27,5.