Плоскость, проведённая через две образующие конуса,пересекает его основания по хорде, которая видна из центра основания конуса под углом альфа. Угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания конуса равен бета. Найдите объем конуса, если радиус его основания равен R.
Плоскость, проведённая через две образующие ( DA и DB ) конуса,пересекает его основания по хорде, которая видна из центра основания конуса под углом α. Угол между проведённой плоскостью и плоскостью основания конуса равен β Найдите объем конуса, если радиус его основания равен R.
Дано:
DA и DB →образующие→ ;
OA = OB = R ; DO⊥ пл. осн || DO⊥ ( пл. круга ) ||
∠AOB = α ; β = (DAB) ^ (пл. осн)
- - - - - - -
V -?
Решение : V = (1/3)S*H = (1/3)πR²*DO
В равнобедренном треугольнике AOM (OA =OB = R ) из вершины O проведем медиану OM и точка M соединим с D _вершиной конуса . OM одновременно и высота OM ⊥ AB и биссектриса ∠AOM = ∠BOM =(1/2)∠AOB = α/2 .
В треугольнике ΔAOM : OM =Rcos(α/2)
ΔDAB тоже равнобедренный DA =DB (образующие), следовательно медиана DM одновременно и высота DM ⊥ AB .
DM ⊥ AB и OM ⊥ AB ⇒ ∠DMO =β ( линейный угол)
Из ΔDOM : DO = OM*tgβ =Rcos(α/2)*tgβ ; H =DO
V =(1/3)πR²*H =(1/3)πR²*Rcos(α/2)*tgβ =(1/3)cos(α/2)*tgβ πR³
ответ: V = (1/3)cos(α/2)*tgβ πR³ ед. объема