В условии, очевидно, ошибка: в прямоугольном параллелепипеде все грани прямоугольники, но тогда в прямоугольном треугольнике ABD гипотенуза (BD = 4 см) меньше катета (АD = 6 см).
Вероятно, в задаче дан прямой параллелепипед. Тогда его основания - параллелограммы, а боковые грани - прямоугольники. Решим задачу для прямого параллелепипеда.
Итак, в основании параллелограмм, в котором
АВ = CD = 3 см,
BC = AD = 6 см,
BD = 4 см - меньшая диагональ параллелограмма.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:
В сечении получается ромб. Отрезок АК = 6*(1/3) = 2. Сторона ромба равна √(4²+2²) = √(16+4) = √20 = 2√5. Найдём диагонали ромба. Так как плоскость сечения параллельна диагонали основания призмы АС, то она пересекает ребро СС₁ в точке Е на таком же расстоянии, что и ребро АА₁: СЕ - АК = 2. Поэтому диагональ ромба ЕК = АС = 4√2. Расстояние от точки А до линии пересечения плоскости основания и заданной плоскости (точка К₁) равно половине диагонали основания: АК₁ = ОВ = 4*cos45° = 4*(√2/2) = 2√2. Расстояние КК₁ равно половине диагонали искомого сечения. КК₁ = √(АК²+ АК₁²) = √(2²+(2√2)²) = √(4+8) = √12 =2√3. Вторая диагональ ВМ = 2*КК₁ = 2*2√3 = 4√3. Площадь сечения ромба ВЕМК равна: S = (1/2)d₁*d₂ = (1/2)*(4√2)*(4√3) = 8√6 = 19.59592 кв.ед.
Эту же площадь можно определить другим Угол наклона плоскости заданного сечения равен: α = arc tg(2/(2√2) = arc tg(1/√2) = arc tg 0.707107= 0.61548 радиан = 35.26439 градуса. Косинус этого угла равен 0.816497. Тогда искомая площадь равна площади основания призмы, делённой на косинус угла α: S = (4*4)/0.816497 = 19.59592 кв.ед.
В условии, очевидно, ошибка: в прямоугольном параллелепипеде все грани прямоугольники, но тогда в прямоугольном треугольнике ABD гипотенуза (BD = 4 см) меньше катета (АD = 6 см).
Вероятно, в задаче дан прямой параллелепипед. Тогда его основания - параллелограммы, а боковые грани - прямоугольники. Решим задачу для прямого параллелепипеда.
Итак, в основании параллелограмм, в котором
АВ = CD = 3 см,
BC = AD = 6 см,
BD = 4 см - меньшая диагональ параллелограмма.
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:
AC² + BD² = 2(AB² + AD²)
AC² = 2(AB² + AD²) - BD² = 2(9 + 36) - 16 = 90 - 16 = 74
AC = √74 см
B₁D - меньшая диагональ параллелепипеда (так как ее проекция меньше).
ΔBB₁D: ∠B₁BD = 90°,
tg∠BDB₁ = BB₁ / BD
BB₁ = BD · tg60° = 4 · √3 = 4√3 см
АА₁ = ВВ₁ = 4√3 см
ΔAA₁C: ∠A₁AC = 90°, по теореме Пифагора
A₁C = √(AA₁² + AC²) = √(48 + 74) = √122 см
Отрезок АК = 6*(1/3) = 2.
Сторона ромба равна √(4²+2²) = √(16+4) = √20 = 2√5.
Найдём диагонали ромба.
Так как плоскость сечения параллельна диагонали основания призмы АС, то она пересекает ребро СС₁ в точке Е на таком же расстоянии, что и ребро АА₁: СЕ - АК = 2.
Поэтому диагональ ромба ЕК = АС = 4√2.
Расстояние от точки А до линии пересечения плоскости основания и заданной плоскости (точка К₁) равно половине диагонали основания: АК₁ = ОВ = 4*cos45° = 4*(√2/2) = 2√2.
Расстояние КК₁ равно половине диагонали искомого сечения.
КК₁ = √(АК²+ АК₁²) = √(2²+(2√2)²) = √(4+8) = √12 =2√3.
Вторая диагональ ВМ = 2*КК₁ = 2*2√3 = 4√3.
Площадь сечения ромба ВЕМК равна:
S = (1/2)d₁*d₂ = (1/2)*(4√2)*(4√3) = 8√6 = 19.59592 кв.ед.
Эту же площадь можно определить другим
Угол наклона плоскости заданного сечения равен:
α = arc tg(2/(2√2) = arc tg(1/√2) = arc tg 0.707107= 0.61548 радиан = 35.26439 градуса.
Косинус этого угла равен 0.816497.
Тогда искомая площадь равна площади основания призмы, делённой на косинус угла α:
S = (4*4)/0.816497 = 19.59592 кв.ед.