а) Любой прямоугольный треугольник можно разрезать на два равнобедренных треугольника.
Верно.
В любом прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине (см. рисунок). Если разрезать треугольник по медиане, то получим два равнобедренных треугольника.
б) Существует четырехугольник со сторонами 2, 3, 5, 11.
Неверно.
Каждая сторона четырехугольника должна быть меньше суммы остальных его сторон.
В данном четырехугольнике для стороны 11:
11 < 5 + 3 + 2 - неравенство неверно, значит четырехугольник с такими сторонами не существует.
в) В любом выпуклом пятиугольнике всегда есть тупой угол.
Верно.
Сумма углов выпуклого многоугольника определяется по формуле:
180°(n - 2), где n - количество сторон.
Для пятиугольника:
180° · 3 = 540°.
Если предположить, что все его углы острые (меньше 90°), то сумма будет меньше 90° · 5 = 450°. Значит есть тупой угол.
г) Внутри любого треугольника существует точка, равноудаленная от всех его вершин.
Неверно.
Точка, равноудаленная от всех вершин треугольника, - это центр описанной окружности.
Только в остроугольном треугольнике центр описанной окружности лежит внутри треугольника. В прямоугольном - на стороне (середина гипотенузы). В тупоугольном - вне треугольника.
В задании, очевидно, надо понимать фразу так: расстояние от СТОРОНЫ основания до противолежащей боковой грани равно 5 корень из 3.
Проведём осевое сечение пирамиды перпендикулярно стороне основания. Получим равнобедренный треугольник, углы α при основании которого равны двугранным углам пирамиды, а высота Н равна высоте пирамиды.
Основание этого треугольника равно стороне основания пирамиды.
Находим синус угла при основании треугольника:
sin α = 5√3/10 = √3/2. Значит, α = 60°.
Отсюда находим высоту пирамиды Н = 5*tg 60° = 5√3.
Получаем ответ: V = (1/3)SoH = (1/3)*10²*5√3 = 500√3/3 куб.ед.
а) Любой прямоугольный треугольник можно разрезать на два равнобедренных треугольника.
Верно.
В любом прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине (см. рисунок). Если разрезать треугольник по медиане, то получим два равнобедренных треугольника.
б) Существует четырехугольник со сторонами 2, 3, 5, 11.
Неверно.
Каждая сторона четырехугольника должна быть меньше суммы остальных его сторон.
В данном четырехугольнике для стороны 11:
11 < 5 + 3 + 2 - неравенство неверно, значит четырехугольник с такими сторонами не существует.
в) В любом выпуклом пятиугольнике всегда есть тупой угол.
Верно.
Сумма углов выпуклого многоугольника определяется по формуле:
180°(n - 2), где n - количество сторон.
Для пятиугольника:
180° · 3 = 540°.
Если предположить, что все его углы острые (меньше 90°), то сумма будет меньше 90° · 5 = 450°. Значит есть тупой угол.
г) Внутри любого треугольника существует точка, равноудаленная от всех его вершин.
Неверно.
Точка, равноудаленная от всех вершин треугольника, - это центр описанной окружности.
Только в остроугольном треугольнике центр описанной окружности лежит внутри треугольника. В прямоугольном - на стороне (середина гипотенузы). В тупоугольном - вне треугольника.
В задании, очевидно, надо понимать фразу так: расстояние от СТОРОНЫ основания до противолежащей боковой грани равно 5 корень из 3.
Проведём осевое сечение пирамиды перпендикулярно стороне основания. Получим равнобедренный треугольник, углы α при основании которого равны двугранным углам пирамиды, а высота Н равна высоте пирамиды.
Основание этого треугольника равно стороне основания пирамиды.
Находим синус угла при основании треугольника:
sin α = 5√3/10 = √3/2. Значит, α = 60°.
Отсюда находим высоту пирамиды Н = 5*tg 60° = 5√3.
Получаем ответ: V = (1/3)SoH = (1/3)*10²*5√3 = 500√3/3 куб.ед.