Пусть трапеция ABCD : AD || BC ; AD>BC ; AD = 14см ; EF - средняя линия трапеции, E∈ [AB] , F∈ [CD] ; M и N - точки пересечении средней линии EF с диагоналями AC и BD соответственно . a) EM =NF =3 см или b) MN =3 см .
ЕF - ?
обозн. AD =a ,BC =b. EF =(a+b)/2 .
EM = NF =BC/2 =b/2 . Действительно EM и NF средние линии в треугольниках ABC и BCD соответственно(средняя линия треугольника соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине ). Аналогично из ΔABD : EN = AD/2 =a/2 * * * или из ΔACD : MF = AD/2=a/2 * * * MN =EN - EM = a/2 -b/2 =(a-b)/2 .
а) b = 2*EM =2*3 см =6 см ; EF =(a+b)/2 =(14 см+6 см)/2 =10 см . b) MN =3 см. MN =(a-b)/2 ⇒b =a -2MN ; EF =(a+b)/2 =(a +a-2MN)/2 = a -MN =14 см -3 см = 11 см.
Прямая NP лежит в плоскости BSN, перпендикулярной ребру АС. Высота пирамиды Н = а√2 / √3 (по свойству тетраэдра) равна 4*√2 / √3. Отрезок ОР составляет от неё 1/4 часть (по заданию). ОР = (1/4)*(4√2 / √3) = √2 / √3. Отрезок ON составляет 1/3 высоты (она же и медиана и биссектриса) основания пирамиды (по свойству точки пересечения медиан равностороннего треугольника). Медиана ВN = 4*cos 30 = 4√3 / 2 = 2√3. ON = (1/3)*(2√3) = 2√3 / 3. Длина отрезка PN = √(OP² + ON²) = √((2/3) + (12/9)) = √(18/9) = √2. Расстояние от точки В до прямой PN равно длине перпендикуляра ВК из точки В на эту прямую. Треугольники PON и BKN подобны (по общему острому углу и по прямым углам). Тогда ВК = (ОР / PN)*BN =((√2 / √3) / √2) * 2√3 = 2.
E∈ [AB] , F∈ [CD] ; M и N - точки пересечении средней линии EF с диагоналями AC и BD соответственно .
a) EM =NF =3 см или
b) MN =3 см .
ЕF - ?
обозн. AD =a ,BC =b.
EF =(a+b)/2 .
EM = NF =BC/2 =b/2 . Действительно EM и NF средние линии в треугольниках
ABC и BCD соответственно(средняя линия треугольника соединяющая середины двух данных сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине ).
Аналогично из ΔABD : EN = AD/2 =a/2 * * * или из ΔACD : MF = AD/2=a/2 * * *
MN =EN - EM = a/2 -b/2 =(a-b)/2 .
а) b = 2*EM =2*3 см =6 см ;
EF =(a+b)/2 =(14 см+6 см)/2 =10 см .
b) MN =3 см.
MN =(a-b)/2 ⇒b =a -2MN ;
EF =(a+b)/2 =(a +a-2MN)/2 = a -MN =14 см -3 см = 11 см.
ответ : 10 см или 11 см.
Высота пирамиды Н = а√2 / √3 (по свойству тетраэдра) равна
4*√2 / √3.
Отрезок ОР составляет от неё 1/4 часть (по заданию).
ОР = (1/4)*(4√2 / √3) = √2 / √3.
Отрезок ON составляет 1/3 высоты (она же и медиана и биссектриса) основания пирамиды (по свойству точки пересечения медиан равностороннего треугольника).
Медиана ВN = 4*cos 30 = 4√3 / 2 = 2√3.
ON = (1/3)*(2√3) = 2√3 / 3.
Длина отрезка PN = √(OP² + ON²) = √((2/3) + (12/9)) = √(18/9) = √2.
Расстояние от точки В до прямой PN равно длине перпендикуляра ВК из точки В на эту прямую.
Треугольники PON и BKN подобны (по общему острому углу и по прямым углам).
Тогда ВК = (ОР / PN)*BN =((√2 / √3) / √2) * 2√3 = 2.