Похожая задача есть в старинной китайской книге «Девять книг о математике».

«Ширина водохранилища равна 1,6 джан (1 джан = 10 чи). В его центре растёт тростник, высота которого выше уровня воды составляет 4 чи. Этот тростник можно пригнуть таким образом, что его верхушка коснётся берега. Найдите глубину водохранилища и высоту тростника».

Untitled-3.jpg

Глубина водохранилища равна
чи.

Высота тростника равна
чи.

(Справка: 1 джан (древнекитайская единица измерения) приблизительно равен 3,2 м.)

Пусть сначала было n точек. Тогда у этих n точек была n-1 пара соседних точек (1 и 2 точки, 2 и 3 точки, и так далее, n-1 и n точки, если нумеровать слева направо). Значит, после того, как между каждыми двумя соседними точками отметили по одной, точек стало n+(n-1)=2n-1. Аналогично рассуждая, получим, что у 2n-1 точки есть 2n-2 пары соседних точек. Значит, после того, как операцию проделали ещё раз, точек стало (2n-1)+(2n-2)=4n-3. Если 4n-3=101, то 4n=104, n=26. Таким образом, сначала было 26 точек.

Через две пересекающиеся прямые можно провести ровно одну плоскость. Две прямые из условия лежат в некоторой плоскости a. Пусть третья прямая пересекает каждую из них и не проходит через точку A их пересечения. Тогда у третьей прямой есть хотя бы две общие точки с плоскостью a (как раз эти точки пересечения). Известно, что прямая, имеющая с плоскостью хотя бы две общие точки, лежит в этой плоскости. Тогда третья прямая также лежит в а. Следовательно, какую бы прямую, пересекающую две данные прямые и не проходящую через А мы ни выбрали, она будет целиком лежать в плоскости а, что и требовалось доказать.