Поселки А и Б расположены между дорогами а и б (рис. 102). Где на этих линиях следует разместить точки M и N (Mea, Neb), чтобы линия AMNB была самой короткой

Если 1 угол равен 2п/3, то он равен 120 градусов-это тупой угол ромба.Противолежащий ему также 120 градусов.Значит, 2 другие угла по 60.
Получается,что меньшая диагональ делит ромб на 2 равносторонних треуг-ка и сторона ромба =меньшей диагонали d1.
Радиус вписанной в ромб окружности равен d1*d2/4a=8корней из 3,а т.к. меньшая диагональ равна стороне ,то подставляем d1 вместо а и получаем,что d2=32 корня из 3.
Рассмотрим прямоугольный треугольник,образованный половинами диагоналей и стороной ромба: по т.Пифагора находим сторону :
(Корень из a^2-a^2/4)=(1/2)*16 корней из 3.
Находим сторону а =32 и значит меньшая диагональ равна 32.

Так как треугольная призма правильная, то в основании лежит правильный(равносторонний) треугольник, который вписан в окружность. Радиус описаной окружности и сторона треугольника связаны соотношением: R=V3\3  *a, отсюда находим сторону треугольника: а=(3*2V3)/V3=6.

Боковая поверхрость призмы состоит из трех равных прямоугольников, в которых известны диагональ и одна из сторон. Найдем другую сторону прямоугольника, используя теорему Пифагора: h^2+6^2=10^2,

                   h^2= 100-36=64,

                   h=8..

Площадь боковой поверхности призмы равна 3 умножить на площадь прямоугольника со сторонами 6 и 8. S=3*6*8=144.

ответ:144.