После совмещения двух квадратов со стороной равной 1, один из них повернут относительно их общего центра симметрии на 45 градусов. найдите площадь полученной фигуры.
В треугольнике угол при основании получается в 45 градусов, а высота треугольника равна половине разности диагонали повернутого треугольника и стороны.
Назовём квадраты АВСД и КЛМН, точка пересечения их диагоналей - т.О. Представим, что они расположены так, что при смещении на 45 градусов вершина К одного квадрата лежит ровно между вершинами А и В другого. Площадь полученной фигуры будет складываться из первоначального квадрата АВСД и 4-х выпирающих маленьких треугольников с вершинами К, Л, М и Н.
Т.к. треугольники равные, достаточно рассмотреть один с вершиной К. Назовем точки пересечения КН, КМ и КЛ и со стороной АВ как Ч,Ш и Щ.
Из треугольника КЛМ: КМ^2=КЛ^2+ЛМ^2=2, значит КМ=корень из 2.
Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник ЧКЩ. Его высота КФ=(диагональ квадрата-сторона квадрата)/2=(корень из 2-1)/2.
Т.к. угол ЧКЩ=90 и делится диагональю КМ пополам, то угол ФКЩ=КЩФ=45, значит ФЩ=КФ, значит ЧЩ=2*ФЩ=2*КФ=2*(корень из 2-1)/2=корень из 2-1
S(ЧКЩ)=КФ*ЧЩ/2=(корень из 2-1)/2 * корень из 2-1 * 1/2=(корень из 2 - 1)^2/4
Площадь полученной фигуры = 1*1+4*S(ЧКЩ)=1+(корень из 2-1)^2
В треугольнике угол при основании получается в 45 градусов, а высота треугольника равна половине разности диагонали повернутого треугольника и стороны.
т.е. (√2-1)/2.
окончательный ответ: 4-2√2
Назовём квадраты АВСД и КЛМН, точка пересечения их диагоналей - т.О. Представим, что они расположены так, что при смещении на 45 градусов вершина К одного квадрата лежит ровно между вершинами А и В другого. Площадь полученной фигуры будет складываться из первоначального квадрата АВСД и 4-х выпирающих маленьких треугольников с вершинами К, Л, М и Н.
Т.к. треугольники равные, достаточно рассмотреть один с вершиной К. Назовем точки пересечения КН, КМ и КЛ и со стороной АВ как Ч,Ш и Щ.
Из треугольника КЛМ: КМ^2=КЛ^2+ЛМ^2=2, значит КМ=корень из 2.
Рассмотрим прямоугольный равнобедренный треугольник ЧКЩ. Его высота КФ=(диагональ квадрата-сторона квадрата)/2=(корень из 2-1)/2.
Т.к. угол ЧКЩ=90 и делится диагональю КМ пополам, то угол ФКЩ=КЩФ=45, значит ФЩ=КФ, значит ЧЩ=2*ФЩ=2*КФ=2*(корень из 2-1)/2=корень из 2-1
S(ЧКЩ)=КФ*ЧЩ/2=(корень из 2-1)/2 * корень из 2-1 * 1/2=(корень из 2 - 1)^2/4
Площадь полученной фигуры = 1*1+4*S(ЧКЩ)=1+(корень из 2-1)^2