Постройте сечение правильной четырёхугольной призмы ABCD A1 B1 C1 D1 плоскостью, проходящей через вершину A и середины рёбер B1 C1 и D1 C1. Найдите площадь сечения, если AB=1, A A1=2
Угол А данного треугольника равен 180-60 = 120 градусов. Опустим из вершины В перпендикуляр на продолжение стороны АС в точку Д. Получим прямоугольный треугольник ВДА, угол ДАВ равен 180-120=60°, а угол ДВА = 30°. Отрезок ДА равен половине гипотенузы АВ: ДА = 14 / 2 = 7. Отрезок ВД = 14*cos30° = 14*(√3/2) = 7√3. Обозначим основание медианы на стороне ВС точкой Е. Из неё опустим перпендикуляр на сторону АС в точку М. Отрезок ЕМ равен половине ВД: ЕМ = 7√3 / 2 = 3,5√3. Находим длину отрезка АМ: АМ = ((30 + 7) / 2) -7 =18,5 - 7 = 11,5 Теперь находим медиану: АЕ = √(АМ²+ЕМ²) = √(11,5² + (3,5√3)²) = √( 132.25 + 36.75) = = √169 = 13.
Вектор АВ (-2i:3j; 0k), АВ = 3,6056
Вектор АС (-2i;0j;6k), АС = 6,3246
Вектор АД (0i;3j;8k). АД = 8,544
Модуль вектора d = √ ((х2 - х1 )^2 + (у2 - у1 )^2 + (z2 – z1 )^2).
2) Угол между векторами (АВ ) ⃗ и (АС) ⃗;
АВ-АС 4 4 13 3,606 40 6,325 22,8 cos α = 0,175412
акос α = 1,394472 радиан = 79,89739 градус.
3) Проекция вектора (АD) ⃗ на вектор (АВ) ⃗
Решение:
Пр ba = a · b|b|
Найдем скалярное произведение векторов:
a · b = ax · bx + ay · by + az · bza · b = 0 · (-2) + 3 · 3 + 8 · 0 = 0 + 9 + 0 = 9
Найдем модуль векторов:
|b| = √bx² + by² + bz² = √(-2)² + 3² + 0² =
= √4 + 9 + 0 = √13
Пр ba =9/√13 = 9√13/13 ≈ 2.4961508830135313.
Опустим из вершины В перпендикуляр на продолжение стороны АС в точку Д.
Получим прямоугольный треугольник ВДА, угол ДАВ равен 180-120=60°, а угол ДВА = 30°.
Отрезок ДА равен половине гипотенузы АВ: ДА = 14 / 2 = 7.
Отрезок ВД = 14*cos30° = 14*(√3/2) = 7√3.
Обозначим основание медианы на стороне ВС точкой Е. Из неё опустим перпендикуляр на сторону АС в точку М.
Отрезок ЕМ равен половине ВД: ЕМ = 7√3 / 2 = 3,5√3.
Находим длину отрезка АМ: АМ = ((30 + 7) / 2) -7 =18,5 - 7 = 11,5
Теперь находим медиану:
АЕ = √(АМ²+ЕМ²) = √(11,5² + (3,5√3)²) = √( 132.25 + 36.75) =
= √169 = 13.