Постройте угол, соsа которого равен 4/7

Треугольник АВС, AB = 12, AC = 10, BC = 14, высота СН.
По теореме косинусов
cos <BAC = (AB²+AC²-BC²)/(2AB*AC)=(144+100-196)/(2*12*10)=1/5.
Из прямоугольного треугольника AHC находим АH = AC *cos<AC = 10*1/5 = 2. существует ровно два случая расположения точки М на стороне АС:
 1) <AHM = <ABC.  
Тогда НM||BC, Δ AHM подобен ΔАBC с коэффициентом AH:AB = 2/12 = 1/6, следовательно, HM = BC * 1/6 = 14 * 1/6 = 7/3.
2) <AHM = <АCB.
Тогда ΔАMH подобен ΔABC с коэффициентом AH:AC = cos <ВAC = 1/5,
следовательно, HM = BC * 1/5 = 14*1/5 = 14/5.
ответ: 7/3 и 14/5

Медиана ВК делит сторону АС на АК=КС и ΔАВС на 2 равных по площади
Sавк=Sсвк=Sавс/2=20
Биссектриса АД угла ΔАВС делит противоположную сторону ВС в отношении, равном отношению двух прилежащих сторон:
 AB/AC=BD/CD=3/2
Т.к. АС=2АК, то АВ/2АК=3/2, АВ/АК=3
Также биссектриса треугольника делит площадь треугольника в отношении, пропорциональном прилежащим сторонам:
 Sасд/Sавс=CD/BC=2/5
Sасд=2/5*Sавс=16  
AE также является биссектрисой ΔABK, тогда
AB/AK=BE/ЕК=3, ВК=ВЕ+ЕК=3ЕК+ЕК=4ЕК
Sаек/Sавк=ЕК/ВК=1/4
Sаек= 1/4*Sавк=5  
Площадь четырёхугольника ЕДCK
Sедск= Sасд-Sаек=16-5=11