Вариант решения: Пусть дана трапеция АВСD, в которой точки E,G,F и Н - середины сторон АВ, ВС, СD и AD соответственно. Причем EF - средняя линия трапеции, а GH - отрезок, соединяющий середины оснований. EF=GH (дано). Если в любом выпуклом четырехугольнике последовательно соединить середины сторон отрезками, то полученная фигура является параллелограммом, поскольку эти отрезки - средние линии треугольников, на которые делится четырехугольник своими диагоналями. Наш четырехугольник является прямоугольником, так как его диагонали равны (EF=GH). В прямоугольнике смежные стороны перпендикулярны, а диагонали в нашем случае параллельны сторонам, следовательно, диагонали взаимно перпендикулярны, что и требовалось доказать.
Вариант решения: Пусть дана трапеция АВСD, в которой точки E,G,F и Н - середины сторон АВ, ВС, СD и AD соответственно. Причем EF - средняя линия трапеции, а GH - отрезок, соединяющий середины оснований. EF=GH (дано). Если в любом выпуклом четырехугольнике последовательно соединить середины сторон отрезками, то полученная фигура является параллелограммом, поскольку эти отрезки - средние линии треугольников, на которые делится четырехугольник своими диагоналями. Наш четырехугольник является прямоугольником, так как его диагонали равны (EF=GH). В прямоугольнике смежные стороны перпендикулярны, а диагонали в нашем случае параллельны сторонам, следовательно, диагонали взаимно перпендикулярны, что и требовалось доказать.
a = √(47/3). Тогда b = √(149/3).
Объяснение:
Пусть АВ=CD=b, AD=BC=a (противоположные стороны параллелограмма). Диагональ BD = ВС = а, как проекции равных наклонных.Из прямоугольных треугольников АМВ и СМВ по Пифагору:
а²+h² = 17² ; b²+h² = 16² =>
a² - b² = 17²-16² = 34. (1)
Из треугольников АВD и BCD по теореме косинусов имеем:
a² + b² - 2·a·b·CosA = BD² = b²
a² + b² + 2·a·b·CosB = AC²= 81. (CosB = Cos(180-A) = -CosA). Сложим оба равенства:
2a²+2b² = b² + 81. => b² +2a² = 81. (2).
Вычтем: (1) - (2) и получим 3а² = 81-34 = 47. =>
a = √(47/3). Тогда b = √(149/3).