При каком значении альфа уравнение х^3+12х^2+ах+27=0 имеет три различных действительных корня, образующих геометрическую прогрессию?

Пусть корни x₁, x₂, x₃, тогда

Раскроем скобки и приведем подобные:

Тогда (теорема Виета):

Корни образуют геометрическую прогрессию, то есть

Тогда три уравнения т. Виета перепишутся так:

, (1)

, (2)

Из последнего уравнения извлечем кубический корень, и получим:

, подставляя это в (1) и в (2), получим

разделим предпоследнее равенство на последнее:

ответ. 36.