Делается дополнительное построение, как на чертеже. ∠CFD = ∠ADF = ∠CDF (DE - биссектриса ∠ADC); поэтому ΔCFD - равнобедренный, CF = CD; Далее, поскольку CF II AD и AE = BE; то DE = FE (миллион объяснений, от теоремы Фалеса до равенства треугольников EBF и AED) Поэтому в равнобедренном ΔCFD CE - медиана к основанию. То есть CE перпендикулярно DE, В прямоугольном ΔCED EM - медиана к гипотенузе, то есть EM = CD/2 = 39/2; Но EM - средняя линия трапеции ABCD; EM = (BC + AD)/2; (Уже после опубликования решения автор мне заметила, что ΔEMD равнобедренный по той же самой причине, что и ΔFCD, поскольку средняя линия EM II AD, поэтому сразу можно было бы написать EM = MD = CD/2) Отсюда AD = CD - BC = 27; Теперь надо провести CK II AB; в ΔCKD CD = 39; CK = AB = 36; KD = AD - BC = 15; то есть получился Пифагоров треугольник (15^2 + 36^2 = 39^2) Это означает просто, что трапеция ABCD - прямоугольная, боковая сторона AB перпендикулярна основаниям и является высотой трапеции. Отсюда площадь трапеции EM*AB = 36*39/2 = 702
Для решения этой задачи, нам понадобятся некоторые сведения о равнобедренном треугольнике и медианах.
1. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная из вершины, равна половине основания треугольника. Это значит, что ME = EA и MK = KB.
2. В треугольнике медианы пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1. То есть, если CM = 8, то AM = 2/3 * CM = 16/3 и BM = 1/3 * CM = 8/3.
3. Треугольник, полученный в результате пересечения медиан, делит исходный треугольник на 6 равных треугольников. Этот факт нам понадобится для решения задачи.
Итак, чтобы найти площадь треугольника ABC, нам нужно найти площадь одного из 6 равных треугольников и умножить ее на 6.
Давайте сначала найдем площадь треугольника, образованного медианами AM и BM.
Зная длину медианы AM, можно найти высоту треугольника, опущенную на сторону AB. Для этого можно воспользоваться формулой для высоты треугольника: h = (2 * p) / a, где h - высота, p - полупериметр треугольника, a - длина основания.
В нашем случае, основание треугольника AB = 5, поэтому площадь треугольника AMB равна (5 * h) / 2.
Найдем сначала полупериметр треугольника AMB. Сумма сторон AM и BM равна AM + BM = 16/3 + 8/3 = 24/3 = 8, а значит, полупериметр p равен p = (8 + 5 + 5) / 2 = 9.
Теперь найдем высоту треугольника h, используя формулу для высоты: h = (2 * p) / a = (2 * 9) / 5 = 18 / 5 = 3.6.
Таким образом, площадь треугольника AMB равна (5 * 3.6) / 2 = 9.
Теперь найдем площадь исходного треугольника ABC. Как было сказано ранее, треугольник, образованный медианами, делит исходный треугольник на 6 равных треугольников. Поэтому площадь треугольника ABC равна 9 * 6 = 54.
Ответ: площадь треугольника ABC равна 54 квадратных сантиметра.
∠CFD = ∠ADF = ∠CDF (DE - биссектриса ∠ADC); поэтому ΔCFD - равнобедренный, CF = CD;
Далее, поскольку CF II AD и AE = BE; то DE = FE (миллион объяснений, от теоремы Фалеса до равенства треугольников EBF и AED)
Поэтому в равнобедренном ΔCFD CE - медиана к основанию.
То есть CE перпендикулярно DE,
В прямоугольном ΔCED EM - медиана к гипотенузе, то есть EM = CD/2 = 39/2;
Но EM - средняя линия трапеции ABCD; EM = (BC + AD)/2;
(Уже после опубликования решения автор мне заметила, что ΔEMD равнобедренный по той же самой причине, что и ΔFCD, поскольку средняя линия EM II AD, поэтому сразу можно было бы написать EM = MD = CD/2)
Отсюда AD = CD - BC = 27;
Теперь надо провести CK II AB; в ΔCKD CD = 39; CK = AB = 36; KD = AD - BC = 15; то есть получился Пифагоров треугольник (15^2 + 36^2 = 39^2)
Это означает просто, что трапеция ABCD - прямоугольная, боковая сторона AB перпендикулярна основаниям и является высотой трапеции.
Отсюда площадь трапеции EM*AB = 36*39/2 = 702
1. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная из вершины, равна половине основания треугольника. Это значит, что ME = EA и MK = KB.
2. В треугольнике медианы пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1. То есть, если CM = 8, то AM = 2/3 * CM = 16/3 и BM = 1/3 * CM = 8/3.
3. Треугольник, полученный в результате пересечения медиан, делит исходный треугольник на 6 равных треугольников. Этот факт нам понадобится для решения задачи.
Итак, чтобы найти площадь треугольника ABC, нам нужно найти площадь одного из 6 равных треугольников и умножить ее на 6.
Давайте сначала найдем площадь треугольника, образованного медианами AM и BM.
Зная длину медианы AM, можно найти высоту треугольника, опущенную на сторону AB. Для этого можно воспользоваться формулой для высоты треугольника: h = (2 * p) / a, где h - высота, p - полупериметр треугольника, a - длина основания.
В нашем случае, основание треугольника AB = 5, поэтому площадь треугольника AMB равна (5 * h) / 2.
Найдем сначала полупериметр треугольника AMB. Сумма сторон AM и BM равна AM + BM = 16/3 + 8/3 = 24/3 = 8, а значит, полупериметр p равен p = (8 + 5 + 5) / 2 = 9.
Теперь найдем высоту треугольника h, используя формулу для высоты: h = (2 * p) / a = (2 * 9) / 5 = 18 / 5 = 3.6.
Таким образом, площадь треугольника AMB равна (5 * 3.6) / 2 = 9.
Теперь найдем площадь исходного треугольника ABC. Как было сказано ранее, треугольник, образованный медианами, делит исходный треугольник на 6 равных треугольников. Поэтому площадь треугольника ABC равна 9 * 6 = 54.
Ответ: площадь треугольника ABC равна 54 квадратных сантиметра.