Применение площадей для доказательства теоремы о свойстве биссектрисы внешнего угла треугольника. Если что, теорема звучит так: Если биссектриса внешнего угла треугольника ABC пересекает прямую, содержащую его противоположную сторону, то расстояния от точки пересечения до концов этой стороны пропорциональны прилежащим сторонам треугольника

P.S: Требуется доказать эту теорему именно ЧЕРЕЗ ПЛОЩАДИ, нигде не могу найти, поэтому

1.

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, составляет 180°.

Дан параллелограмм АВСД, где ∠А=х°, ∠Д=х+18°.

Тогда х+х+18=180

2х+18=180

2х=16

х=81

∠А=81°, ∠С=∠А=81°

∠В=∠Д=81+18=99°.

ответ: 81°, 99°, 81°, 99°

2.

ΔАМВ подобен ΔВМС ( по двум углам)  

BC/AD=CD/MD  

BC/20=8/10

10BC=160

BC=16

3. ответ: 8 см

Объяснение: ЕК, как высота,  перпендикулярна DE ⇒ ∆ ЕFK прямоугольный. По т.Пифагора ЕК=√(EF²-KF²)√(36-4)=√32.

 Треугольник DEK прямоугольный. DE=EK:sin45°=√32•√2/2=8 см

Или по т.Пифагора DE=√(2•DK²), т.к. второй острый угол ∆ DEK=45°, и DK=EK.

4.∠СDB=∠DBCкак накрест лежащие при параллельных прямых и секущей,   но ∠АDВ = ∠ВDC(по условию) значит ΔВСD - равнобедренный, тогда ВС=СD=12,   Опустим высоту СК. Тогда АК=ВС=12,  КD=18-12=6. По теореме Пифагора находим СК.  СК²=СD²-KD²=144-36=108,    CK=√108=6√3,   площадь равна (12+18)/2   ·6√3=        =15·6√3=90√3

5.

ответ: S=336см²

Объяснение: обозначим вершины ромба А В С Д, а диагонали АС и ВД, точку их пересечения О. Диагонали пересекаясь делят ромб на 2 равных прямоугольных треугольника в которых его диагонали являются катетами а стороны - гипотенузой. Пусть диагональ ВД=х, а вторая АС=у. Если их сумма составляет 62см, то х+у=62

Если рассмотреть =АВО, тодиагонали при пересечении делятся пополам поэтому

ВО=ДО=х/2, АО=СО=у/2. Составим уравнение используя теорему Пифагора:

(х/2)²+(у/2)²=25². У нас получилась система уравнений:

х+у=62

(х/2)²+(у/2)²=25²

х=62-у

Подставим значение х во второе уравнение: (х/2)²+(у/2)²=25

((62-у)/2)²+у²/4=625

(62-у²)/4+у²/4=625

(3844-124у+у²+у²)/4=625

(2у²-124у+3844)/4=625

2у²-124у+3844=4×625

2у²+124у+3844=2500

2у²+124у+3844-2500=0

2у²+124у+1344=0 |÷2

у²-62у+672=0

Д=3844-4×672=3844-2688=1156

у1=(62-34)/2=28/2=14

у2=(62+34)/2=96/2=48

Итак: у1=14; у2=48

Теперь подставим значение у в первое уравнение: х1=62-у=62-14=48

х2=62-48=14

Нам подходят оба значения х и у. Диагональ ВД=48см; АС=14см

Площадь ромба можно вычислить по формуле S=½×AC×BД=½×14×48=336см²