Признак перпендикулярности прямой к плоскостиВ тетраэдре DABC точка M — серединная точка ребра DC.
Дано, что у тетраэдра
AD=AC;BD=BC.
Tetraedr_perp_076.png
Докажи, что прямая, на которой находится ребро DC, перпендикулярна плоскости (ABM).
1. Определи вид треугольников.
ΔADC —
;
ΔDCB —
.
2. Какой угол образует медиана с основанием этих треугольников?
ответ:
градусов.
3. Согласно признаку, если прямая
к
прямым в некой плоскости, то она
к этой плоскости
Для доказательства перпендикулярности прямой к плоскости, рассмотрим треугольники ΔADC и ΔDCB. Из условия задачи известно, что AD = AC и BD = BC.
Мы знаем, что серединная линия треугольника параллельна основанию и равна половине его длины. Так как M — серединная точка ребра DC, то AM = MC.
Теперь вспомним, что в равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, равна половине основания и перпендикулярна ему.
Исходя из этого, мы можем заключить, что прямая, на которой находится ребро DC (то есть, прямая DM), перпендикулярна плоскости (ABM).
2. Ответ: медиана между BD и BC образует угол 90 градусов.
Для доказательства этого факта рассмотрим треугольник ΔDCB. В этом треугольнике BD = BC, M — серединная точка ребра DC. Так как M — серединная точка, то AM = MC.
Мы также знаем, что медиана, проведенная к основанию равнобедренного треугольника, равна половине основания и перпендикулярна ему.
Таким образом, медиана, проведенная к основанию треугольника ΔDCB (то есть, медиана MD), равна половине основания BD и перпендикулярна ему. Следовательно, угол между медианой MD и основанием BD равен 90 градусов.
3. Ответ: Если прямая DM перпендикулярна основанию BD, то она перпендикулярна плоскости (ABM).
Опять же, рассмотрим треугольник ΔDCB. Из предыдущего пункта мы знаем, что медиана MD, проведенная к основанию BD, перпендикулярна ему. Но основание BD является прямой, лежащей в плоскости (ABM).
Таким образом, если прямая DM перпендикулярна основанию BD, то она перпендикулярна плоскости (ABM).