(Про вписанную окружность в прямоугольном треугольнике) В прямоугольный треугольник KLM вписана окружность (угол М прямой), точки P,Q,R являются точками касания окружности со сторонами КМ, LM соответственно. Найдите величину угла PQR.
Объяснение: если треугольник прямоугольный, то вычислим наибольшую его сторону: АВ; ВС; АС по формуле:
АB²=(Ах-Ау)²+(Ау-Ву)²+(Аz-Bz)²;
AB²=(3-(-4))²+(-5-2)²+(-2-3)²=
=(3+4)²+(-7)²+(-5)²=7²+49+25=49+74=123
AB=√123=3√41
Остальные стороны найдём по этой же формуле:
BC²=(-4-(-2))²+2-(-4))²+(3-5)²=
=(-4+2)²+(2+4)²+(-2)²=(-2)²+6²+4=4+36+4=44
ВС=√44=2√11
АС²=(3-(-2))²+(-5-(-4))²+(-2-5)²=
=(3+2)²+(-5+4)²+(-7)²=5²+(-1)²+49=25+1+49=
=75; АС=√75=5√3
Итак: АВ=√123=3√41; ВС=√44=2√11;
АС=√75=5√3
Самая большая сторона АВ, значит она и является гипотенузой. Гипотенуза лежит напротив угла 90°, значит этим углом является угол С. Косинус-это отношение прилежащего к углу катета к гипотенузе, поэтому cosA=AC/AB=√75/√123=√(75/123)=
Проведём DN ⊥ пл.α , DN - расстояние от точкиD до пл.α , DN=8 .
1. CD║AB как противоположные стороны ромба, AB⊂пл. α ⇒ CD║пл.α . Все точки CD равноудалены от пл.α, значит расстояние от точки С до пл. α равно расстоянию от точки D до пл. α . CM⊥пл. α , СМ=8 .
2. Проведём DF ⊥ AB и рассм. ΔАDF . DF=AD*sinA=16*√3/2=8√3 .
DN⊥пл. α , DF⊥AB , значит FN - проекция DF на пл.α и по теореме о трёх перпендикулярах FN⊥AB . Тогда линейным углом двугранного угла между ромбом и плоскостью α будет угол DFN .
ответ: cosA=5√41
Объяснение: если треугольник прямоугольный, то вычислим наибольшую его сторону: АВ; ВС; АС по формуле:
АB²=(Ах-Ау)²+(Ау-Ву)²+(Аz-Bz)²;
AB²=(3-(-4))²+(-5-2)²+(-2-3)²=
=(3+4)²+(-7)²+(-5)²=7²+49+25=49+74=123
AB=√123=3√41
Остальные стороны найдём по этой же формуле:
BC²=(-4-(-2))²+2-(-4))²+(3-5)²=
=(-4+2)²+(2+4)²+(-2)²=(-2)²+6²+4=4+36+4=44
ВС=√44=2√11
АС²=(3-(-2))²+(-5-(-4))²+(-2-5)²=
=(3+2)²+(-5+4)²+(-7)²=5²+(-1)²+49=25+1+49=
=75; АС=√75=5√3
Итак: АВ=√123=3√41; ВС=√44=2√11;
АС=√75=5√3
Самая большая сторона АВ, значит она и является гипотенузой. Гипотенуза лежит напротив угла 90°, значит этим углом является угол С. Косинус-это отношение прилежащего к углу катета к гипотенузе, поэтому cosA=AC/AB=√75/√123=√(75/123)=
=(√25/41)=5/√41
ABCD - ромб , AD=16 , ∠А=60° , АВ ∈ пл.α
Проведём DN ⊥ пл.α , DN - расстояние от точкиD до пл.α , DN=8 .
1. CD║AB как противоположные стороны ромба, AB⊂пл. α ⇒ CD║пл.α . Все точки CD равноудалены от пл.α, значит расстояние от точки С до пл. α равно расстоянию от точки D до пл. α . CM⊥пл. α , СМ=8 .
2. Проведём DF ⊥ AB и рассм. ΔАDF . DF=AD*sinA=16*√3/2=8√3 .
DN⊥пл. α , DF⊥AB , значит FN - проекция DF на пл.α и по теореме о трёх перпендикулярах FN⊥AB . Тогда линейным углом двугранного угла между ромбом и плоскостью α будет угол DFN .
Рассм. ΔDNF. DN ⊥ FN , DN=8 , sin∠DFN=DN/DF=8/8√3=1/√3 .
Если же не ∠А=60°, а ∠В=60°, то рассуждения аналогичны.
CM=DN=8 по тем же соображениям.
Проводим CF⊥AB, получаем ΔCBF, откуда находим CF=8√3.
Линейным углом двугранного угла между ромбом и пл.α будет ∠CFM . Из ΔCFM находим sin∠CFM=1/√3 .