Проекция правильного треугольника ABC на плоскости, проходящей через ее сторону AB, является равнобедренный треугольник ABD. Угол между треугольником ABC и плоскостью 60o, a сторона треугольника равна 6. Найдите площадь треугольника ABD.

Расстояние от точки до прямой - длина перпендикуляра, проведенного из точки к прямой.

Проведем ВН⊥АС. Так как угол АСВ тупой, точка Н будет лежать на продолжении стороны АС (см. плоский чертеж).

ВН - проекция DH на плоскость АВС, ⇒ DH⊥AC по теореме о трех перпендикулярах.

DH - искомая величина.

∠ВСН = 180° - ∠ВСА = 180° - 150° = 30° так как это смежные углы.

В прямоугольном треугольнике ВСН напротив угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы:

ВН = ВС/2 = 6/2 = 3

ΔDBH: ∠DBH = 90°, по теореме Пифагора

DH = √(DB² + BH²) = √(16 + 9) = 5

0,5

Объяснение:

1-й

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту.

В прямоугольном треугольнике основанием и высотой являются его катеты.

В приведённом примере оба катета равны 1, т.к. все 3 вершины треугольника совпадают с вершинами квадрата, а стороны квадрата равны.

Находим площадь треугольника:

(1 * 1) : 2 = 1 : 2 = 0,5.

2-й

Диагональ квадрата делит его на 2 равных треугольника. Поэтому, если площадь квадрата равна 1, то площадь треугольника, образованного сторонами и диагональю квадрата, равна 1 : 2 = 0,5

ответ: 0,5.

ПРИМЕЧАНИЕ.

В задании не сказано, но на рисунке отмечена диагональ квадрата как х.

Согласно теореме Пифагора,

х = √ (1² + 1²) = √2.

Зная стороны треугольника (1 и √2), площадь треугольника  можно рассчитать третьим площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними.

Угол между стороной и гипотенузой равен 45°, т.к. диагональ квадрата является биссектрисой угла, а угол - прямой, равен 90°.

sin 45° = √2/2.

Отсюда площадь треугольника равна:

(1 * √2 * √2/2) : 2 = (1 * 2/2) : 2 = 0,5