Продолжим боковые стороны до точки пересечения T. (Выходит что BC средняя линия треугольника ATD) Проведем FO||AT ,OL||TD. Откуда подобны треугольники: ATD и FOL,AMD и FOD,AND и AOL. Откуда верны отношения: FO/4y=LO/6z=FL/AD FO/y=(FL+LD)/AD=OD/MD; FO/4y=(FL+LD)/4AD LO/2z=(FL+AF)/AD ; LO/6z=(FL+AF)/3AD (FL+LD)/4AD=FL/AD FL+LD=4FL LD=3FL (FL+AF)/3AD=FL/AD FL+AF=3FL AF=2FL OD/MD=(FL+LD)/(AF+FL+LD)=4FL/(6FL)=2/3 Проведем диагональ BD. Треугольники ABD и BDC имеют одинаковые высоты, равные высоте трапеции. То есть их площади относятся как основы трапеции: SBCD=SABD/2 (в сумме они дают площадь трапеции) 27cм^2=SABD+SABD/2=3SABD/2 SABD=18cм^2 Треугольники ABD и AMD имеют общую высоту,то их площади тоже относятся как их основы (AM и AB): SAMD=SABD/2=9cм^2 Ну и наконец треугольники AMD и AOD тоже имеют общую высоты,то их площади тоже относятся как основы (OD и MD). Из выше показанного:OD/MD=2/3 Откуда: SAOD=2SAMD/3=18/3=6cм^2 ответ:SAOD=6cм^2 Я не гарантирую ,что это самый простой путь решения. Я даже на 100 процентов уверен,что есть попроще.
Такую задачу можно делать с теоремы о пропорциональных отрезках, но при этом нужно проводить дополнительные линии, а мне делать это лень. Поэтому воспользуемся теоремой Менелая. Советую перед разбором решения ознакомиться с формулировкой этой теоремы. А заодно и с теоремой Чевы. А если посмотрите и теорему Ван-Обеля, вы будете подкованы на 100%.
Кстати, удобно сначала воспользоваться теоремой Чевы. Поскольку чевианы PM, RK и QN пересекаются в одной точке, справедливо равенство.
То есть в QK четыре части, а в KP одна часть. Следовательно, в PQ=PK+KQ пять частей, а тогда
Для нахождения второго отношения воспользуемся теоремой Ван-Обеля. Поскольку чевианы PM, RK и QN пересекаются в точке S, то
Для нахождения третьего отношения применим теорему Менелая к треугольнику PRS и прямой NK, которая пересекает стороны PR и PS и продолжение стороны RS. Имеем:
Внимание для тех, кто хочет (и знает, как) сделать сайт лучше и комфортнее! В данный момент я имею в виду не преодоление тех очевидных недостатков, которые становятся очевидными в первые пять минут, а плохую работу встроенного TEX'а. Впечатление, что здешние айтишники не знают, как решить возникающие проблемы. Предложите им свои услуги!
Проведем FO||AT ,OL||TD. Откуда подобны треугольники:
ATD и FOL,AMD и FOD,AND и AOL.
Откуда верны отношения:
FO/4y=LO/6z=FL/AD
FO/y=(FL+LD)/AD=OD/MD; FO/4y=(FL+LD)/4AD
LO/2z=(FL+AF)/AD ; LO/6z=(FL+AF)/3AD
(FL+LD)/4AD=FL/AD
FL+LD=4FL
LD=3FL
(FL+AF)/3AD=FL/AD
FL+AF=3FL
AF=2FL
OD/MD=(FL+LD)/(AF+FL+LD)=4FL/(6FL)=2/3
Проведем диагональ BD.
Треугольники ABD и BDC имеют одинаковые высоты, равные высоте трапеции. То есть их площади относятся как основы трапеции:
SBCD=SABD/2 (в сумме они дают площадь трапеции)
27cм^2=SABD+SABD/2=3SABD/2
SABD=18cм^2
Треугольники ABD и AMD имеют общую высоту,то их площади тоже относятся как их основы (AM и AB):
SAMD=SABD/2=9cм^2
Ну и наконец треугольники AMD и AOD тоже имеют общую высоты,то их площади тоже относятся как основы (OD и MD).
Из выше показанного:OD/MD=2/3
Откуда: SAOD=2SAMD/3=18/3=6cм^2
ответ:SAOD=6cм^2
Я не гарантирую ,что это самый простой путь решения.
Я даже на 100 процентов уверен,что есть попроще.
Такую задачу можно делать с теоремы о пропорциональных отрезках, но при этом нужно проводить дополнительные линии, а мне делать это лень. Поэтому воспользуемся теоремой Менелая. Советую перед разбором решения ознакомиться с формулировкой этой теоремы. А заодно и с теоремой Чевы. А если посмотрите и теорему Ван-Обеля, вы будете подкованы на 100%.
Кстати, удобно сначала воспользоваться теоремой Чевы. Поскольку чевианы PM, RK и QN пересекаются в одной точке, справедливо равенство
.
То есть в QK четыре части, а в KP одна часть. Следовательно, в PQ=PK+KQ пять частей, а тогда
Для нахождения второго отношения воспользуемся теоремой Ван-Обеля. Поскольку чевианы PM, RK и QN пересекаются в точке S, то
Для нахождения третьего отношения применим теорему Менелая к треугольнику PRS и прямой NK, которая пересекает стороны PR и PS и продолжение стороны RS. Имеем:
Внимание для тех, кто хочет (и знает, как) сделать сайт лучше и комфортнее! В данный момент я имею в виду не преодоление тех очевидных недостатков, которые становятся очевидными в первые пять минут, а плохую работу встроенного TEX'а. Впечатление, что здешние айтишники не знают, как решить возникающие проблемы. Предложите им свои услуги!