Допустим, у нас есть плоскость. Всякая прямая, не перпендикулярная этой плоскости и пересекающая её (под острым углом) , является наклонной. Если на наклонной взять любую точку и провести через ней прямую, перпендикулярную данной плоскости, то проведённая прямая будет перпендикуляром. Если через точку пересечения наклонной и плоскости и точку пересечения перпендикуляра и плоскости провести прямую, эта прямая будет проекцией наклонной на плоскость. Проекция наклонной не зависит от того, какая точка взята на наклонной, чтобы провести через неё перпендикуляр, это можно легко доказать. Важно: проекция наклонной целиком лежит в данной плоскости, потому что две её точки в ней лежат.
Решение: Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то имеем четыре равных прямоугольных Δ-а: АВО, СВО, АДО и СДО (где т.О - точка пересечения диагоналей).
Рассмотрим один из них - ΔАВО: ∠АОВ=90°, АО=АС÷2=3√3 см, ВО=ВД÷2=9 см. Используя теорему Пифагора, узнаем длину гипотенузы АВ: АВ²=АО²+ВО²=(3√3)²+9²=9×3+81=108=27×4=3×9×4=6√3 см.
Мы имеем гипотенузу АВ в два раза бОльшую, чем катет АО, что согласно свойству прямоугольного треугольника позволяет нам сделать вывод, что ∠АВО=30°. Тогда ∠ВАО=180-90-30=60°.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, что даёт результат: ∠ВАС=∠ВСД=60×2=120°, ∠АВС=∠АДС=30×2=60°. Задача решена.
Примечание: Определив длину гипотенузы, мы можем обратить внимание, что АВ=АС, т.е. каждая из сторон ромба (которые равны между собой по определению) равна меньшей диагонали. Значит, ΔАВС=ΔАДС, они равносторонние, и их углы равны 60°. Что даёт нам те же 60 и 120 градусов углов ромба.
2. Абсолютно аналогично 1). получаем:
АВ²=5²+(5√3)²=25+75=100, АВ=10 см, что опять таки равно диагонали (или в два раза больше катета, кому как нравится). ⇒
Если на наклонной взять любую точку и провести через ней прямую, перпендикулярную данной плоскости, то проведённая прямая будет перпендикуляром.
Если через точку пересечения наклонной и плоскости и точку пересечения перпендикуляра и плоскости провести прямую, эта прямая будет проекцией наклонной на плоскость.
Проекция наклонной не зависит от того, какая точка взята на наклонной, чтобы провести через неё перпендикуляр, это можно легко доказать.
Важно: проекция наклонной целиком лежит в данной плоскости, потому что две её точки в ней лежат.
60° и 120°
Объяснение:
1). Дано: АВСД - ромб; АС=6√3 см; ВД=18 см.
Найти углы ромба.
Решение: Так как диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, то имеем четыре равных прямоугольных Δ-а: АВО, СВО, АДО и СДО (где т.О - точка пересечения диагоналей).
Рассмотрим один из них - ΔАВО: ∠АОВ=90°, АО=АС÷2=3√3 см, ВО=ВД÷2=9 см. Используя теорему Пифагора, узнаем длину гипотенузы АВ: АВ²=АО²+ВО²=(3√3)²+9²=9×3+81=108=27×4=3×9×4=6√3 см.
Мы имеем гипотенузу АВ в два раза бОльшую, чем катет АО, что согласно свойству прямоугольного треугольника позволяет нам сделать вывод, что ∠АВО=30°. Тогда ∠ВАО=180-90-30=60°.
Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов, что даёт результат: ∠ВАС=∠ВСД=60×2=120°, ∠АВС=∠АДС=30×2=60°. Задача решена.
Примечание: Определив длину гипотенузы, мы можем обратить внимание, что АВ=АС, т.е. каждая из сторон ромба (которые равны между собой по определению) равна меньшей диагонали. Значит, ΔАВС=ΔАДС, они равносторонние, и их углы равны 60°. Что даёт нам те же 60 и 120 градусов углов ромба.
2. Абсолютно аналогично 1). получаем:
АВ²=5²+(5√3)²=25+75=100, АВ=10 см, что опять таки равно диагонали (или в два раза больше катета, кому как нравится). ⇒
∠В=∠Д=60°; ∠А=∠С=120°.