А) Рассмотрим треугольник PFB и BKP В них: BF=BK (по условию) FP=PK (по условию) BP - общая треугольники равны по трём сторонам. Из равенства треугольников следует равенство элементов => угол BFP = углу BKP, что и требовалось доказать б) так как углы BFP и BKP равны, то смежные с ними AFP и PKC тоже будут равны. Рассмотрим треугольники AFP и PKC В них: FP=KP (по условию) угол APF = углу KFC (по условию) угол АFP = углу PKC (из ранее доказанного) Треугольники равны по двум углом и прилежащей к ней стороне. Из равенства треугольников следует равенство элементов => АР=PC => Р - середина АС, что и требовалось доказать
Треугольники AOD и BOC подобны по свойству трапеции. Площади подобных треугольников относятся, как квадраты коэффициента их подобия 25:16=k² k=√(25:16)=5:4 Следовательно, основания трапеции относятся, как 5:4 Обозначим высоту ᐃ ВОС=h₁ высоту ᐃ АОD=h₂ S АОD=h₂·АD:2 S ВОС=h₁·ВС:2
Площадь трапеции равна произведению ее высоты на полусумму оснований:
Высота трапеции Н S ABCD=Н·(АD+ВС):2 Н=h₂+h₁ S ABCD =(h₁+h₂)·(АD+ВС):2= =h₁·АD+h₂·АD+h1·ВС+h₂·ВС
1) Применим свойство пропорции: произведение средних членов пропорции равно произведению крайних. h₂:h₁=5:4 4h₂=5h₁ h₂=5h₁/4 S AOD=h₂·АD:2=5h₁/4·АD:2 25=5h₁/4·АD:2 Умножим на два обе части уравнения 12,5=5h₁/4·АD 5h₁/4 =12,5:AD h₁:4=2,5:AD h₁·AD= 4·2,5 =10 см²
Т.к. площади боковых треугольников у трапеции равны равны, то h₂·ВС=10 см²
Проверим это: 2) h₂:h₁=5:4 5h₁=4h₂ h₁=4h₂/5 S ВОС=h₁·ВС:2=4h₂/5·ВС:2 16=4h₂/5·ВС:2 Умножим на два обе части уравнения 8=4h₂/5·ВС 4h₂:5=8:ВС 4h₂·ВС=8·5=40 h₂·ВС=40:4=10 см²
3) Подставим значения h₂·ВС и h₁·AD в уравнение площади трапеции
S ABCD=h₁·АD+25+16+h₂ВС=41+=h₁·АD+h₂·ВС = S ABCD=10+25+16+10= 61 см
В них: BF=BK (по условию)
FP=PK (по условию)
BP - общая
треугольники равны по трём сторонам. Из равенства треугольников следует равенство элементов => угол BFP = углу BKP, что и требовалось доказать
б) так как углы BFP и BKP равны, то смежные с ними AFP и PKC тоже будут равны.
Рассмотрим треугольники AFP и PKC
В них: FP=KP (по условию)
угол APF = углу KFC (по условию)
угол АFP = углу PKC (из ранее доказанного)
Треугольники равны по двум углом и прилежащей к ней стороне. Из равенства треугольников следует равенство элементов => АР=PC => Р - середина АС, что и требовалось доказать
Треугольники AOD и BOC подобны по свойству трапеции.
Площади подобных треугольников относятся, как квадраты коэффициента их подобия
25:16=k²
k=√(25:16)=5:4
Следовательно, основания трапеции относятся, как 5:4
Обозначим
высоту ᐃ ВОС=h₁
высоту ᐃ АОD=h₂
S АОD=h₂·АD:2
S ВОС=h₁·ВС:2
Площадь трапеции равна произведению ее высоты на полусумму оснований:
Высота трапеции Н
S ABCD=Н·(АD+ВС):2
Н=h₂+h₁
S ABCD =(h₁+h₂)·(АD+ВС):2=
=h₁·АD+h₂·АD+h1·ВС+h₂·ВС
1)
Применим свойство пропорции: произведение средних членов пропорции равно произведению крайних.
h₂:h₁=5:4
4h₂=5h₁
h₂=5h₁/4
S AOD=h₂·АD:2=5h₁/4·АD:2
25=5h₁/4·АD:2 Умножим на два обе части уравнения
12,5=5h₁/4·АD
5h₁/4 =12,5:AD
h₁:4=2,5:AD
h₁·AD= 4·2,5 =10 см²
Т.к. площади боковых треугольников у трапеции равны равны, то h₂·ВС=10 см²
Проверим это:
2)
h₂:h₁=5:4
5h₁=4h₂
h₁=4h₂/5
S ВОС=h₁·ВС:2=4h₂/5·ВС:2
16=4h₂/5·ВС:2 Умножим на два обе части уравнения
8=4h₂/5·ВС
4h₂:5=8:ВС
4h₂·ВС=8·5=40
h₂·ВС=40:4=10 см²
3) Подставим значения h₂·ВС и h₁·AD в уравнение площади трапеции
S ABCD=h₁·АD+25+16+h₂ВС=41+=h₁·АD+h₂·ВС =
S ABCD=10+25+16+10= 61 см