Пряма l лежить у площині α. Пряма b не лежить у площині α і перетинається під прямим кутом з прямою l. Через прямі b і l проведено площину β. Доведіть, що кут між прямою b і площиною α дорівнює куту між площинами α і β
1) Если точка лежит в одной плоскости с окружностью, то нельзя провести через них сферу.
2) Пусть точка М не лежит в плоскости окружности и не лежит на прямой а.
Центр сферы - точка, равноудаленная от всех точек окружности и от данной точки М.
Все точки, равноудаленные от всех точек окружности, лежат на прямой а, проходящей через центр окружности перпендикулярно плоскости окружности.
Через прямую а и точку, не лежащую на ней, проходит единственная плокость. Пусть она пересекает плоскость окружности по прямой АВ.
Точки, равноудаленные от точек М и А, лежат на серединном перпендикуляре к отрезку МА.
Тогда точка пересечения этого серединного перпендикуляра и прямой а - точка S - и есть центр сферы (она равноудалена от всех точек окружности и от точки М). Так как такая точка единственная, то и сферу через окружность и точку М можно провести единственную.
3) Если точка М лежит на прямой а, то возьмем произвольную точку А на окружности и в плоскости АОМ построим серединный перпендикуляр к отрезку АМ. И дальше так же, он пересечет прямую а в точке S, которая и является центром единственной сферы.
α =β =1 ⇒4x +1 =0 ⇔ x = -1/4 .
α = - β =1⇒2y - 3/2 =0 ⇔ y = 3 /2 .
* * * x = -1/4 и y = 3/2 * * *
M₀( -1/4 ; 3 /2) центр пучка прямых
y -y₀ =k(x -x₀) ⇔y -3/2 =k*(x +1/4) .
Любые две прямые : 1) y - 3/2 =k*(x +1/4) и 2) y - 3/2 = (- 1/k)*(x +1/4) .
можно задавать например:
a) k = -2 ⇒ 2x+y -1 =0 и 4x -8y +13 =0 .
b) k = 2 ⇒ 2x -y +2 0 и 4x +8y -11= 0
2. Найдите каноническое уравнение прямой : {x+y -2 = 0 ;y - z +1 =0 .
(x - x₁) / (x₂-x₁) = (y - y₁) / (y₂-y₁) = (z - z₁) / (z₂ - z₁) ;
Выбираем две точки : M₁(1; 1; 2 ) , M₂(2; 0; 1 )
(x - 1) / (2 -1) = (y - 1) / (0 -1) = (z - 2) / (1 - 2) ⇔
(x - 1) / 1 = (y - 1) / (-1) = (z - 2) / ( -1) .
1) Если точка лежит в одной плоскости с окружностью, то нельзя провести через них сферу.
2) Пусть точка М не лежит в плоскости окружности и не лежит на прямой а.
Центр сферы - точка, равноудаленная от всех точек окружности и от данной точки М.
Все точки, равноудаленные от всех точек окружности, лежат на прямой а, проходящей через центр окружности перпендикулярно плоскости окружности.
Через прямую а и точку, не лежащую на ней, проходит единственная плокость. Пусть она пересекает плоскость окружности по прямой АВ.
Точки, равноудаленные от точек М и А, лежат на серединном перпендикуляре к отрезку МА.
Тогда точка пересечения этого серединного перпендикуляра и прямой а - точка S - и есть центр сферы (она равноудалена от всех точек окружности и от точки М). Так как такая точка единственная, то и сферу через окружность и точку М можно провести единственную.
3) Если точка М лежит на прямой а, то возьмем произвольную точку А на окружности и в плоскости АОМ построим серединный перпендикуляр к отрезку АМ. И дальше так же, он пересечет прямую а в точке S, которая и является центром единственной сферы.