Пряма паралельна стороні DM трикутника DKM перетинає його сторону DK у точці P, а сторону MK у точці N. Знайдіть площу трикутника PKN, якщо PN = 9 см, KM = 25 см, KN=DM, а площа трикутника DKM = 125 см^2

Обозначим данный треугольник буквами ABC, одну из его биссектрис - AM, остальные биссектрисы - BH и CK.
Данный треугольник также является равнобедренным. По свойству биссектрисы, проведенной из вершины равнобедренного треугольника, AM также будет являться его высотой и медианой. Значит, так как сторона BC также равна 14 корней из 3, то BM =(14 корней из 3)/2 = (14 и 2 сокращаются) 7 корней из 3.
Так как угол ABM = 90 градусам, то по теореме Пифагора AB^2 = AM^2 + BM^2; 588 = AM^2 + 147; AM^2 = 588-147; AM^2 = 441; AM = 21.
 Биссектрисы равностороннего треугольника равны, значит, AM =  BH = CK.
ответ: 21;21;21.

ΔABD = ΔDCA по двум сторонам и углу между ними (AB = CD, т.к. трапеция равнобедренная, AD - общая, ∠BAD = ∠CDA) ⇒
∠CAD = ∠BDA, ⇒ ΔAOD равнобедренный.
ΔAOD подобен ΔСОВ по двум углам (углы при вершине О равны как вертикальные, ∠OAD = ∠ОСВ как накрест лежащие) ⇒ ΔСОВ тоже равнобедренный.
Проведем высоту трапеции КН через точку пересечения диагоналей.
Тогда, ОН - высота и медиана равнобедренного прямоугольного  ΔAOD, а медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
ОН = AD/2
Аналогично, ОК - высота и медиана ΔВОС,
ОК = ВС/2
КН = (AD + BC)/2 = 4 см, т.к. полусумма оснований - это средняя линия.

Стоит запомнить это свойство: в равнобедренной трапеции с перпендикулярными диагоналями высота равна средней линии.