Пряма, проведена через вершину A трикутника ABC паралельно стороні BC , утворює зі сторонами AB і AC рівні кути. Відомо, що AB=6 . Знайдіть AC

Cм. рисунок в приложении
В основании пирамиды равносторонний треугольник АВС:
АВ=ВС=АС=4 см.
В равностороннем треугольнике все высоты равны.
Высоты являются одновременно медианами и биссектрисами.
МО ⊥ пл. АВС.
ОА=ОВ=ОС=R ( радиус описанной окружности).
R=a√3/3, где а- сторона правильного треугольника.
ОА=ОВ=ОС=4√3/3
ОК=OD=r ( радиус вписанной окружности).
Медианты в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.
r=R/2=2√3/3

Равные проекции имеют равные наклонные.
МА=МВ=МС.

а) АК- высота, медиана и биссектриса Δ АВС.
АК⊥ВС
ВК=КС.
МК⊥BC  по теореме о трех перпендикулярах ( проеция МК- ОК, ОК⊥ВС, так как АК ⊥ ВС).
ВС ⊥ АК и ВС⊥ МК
ВС ⊥ двум пересекающимся прямым плоскости АМК, значит по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, ВС ⊥ пл. АМК, а значит и пл. АМО.
Чтобы найти линейный угол двугранного угла между плоскостями АМО (АМК) и ВМС, надо провести перпендикуляры к линии их пересечения.
Линией пересечения является МК.
Проводим АЕ⊥МК и ЕF║ВС. (ВС⊥МК ⇒ ЕF⊥MK).

б) Угол между плоскостями АВС и МВС.
Линией пересечения плоскостей является сторона ВС.
АК⊥ВС
МК⊥ВС
Угол МКА - линейный угол двугранного угла.
Из прямоугольного треугольника МОК
tg ∠МКО=MO/OК=2/(2√3/3)=√3
 ∠МКО=60°

в) угол между прямой МС и плоскостью АВС - угол между прямой и её проекцией на эту плоскость.
Проекцией МС на плоскость АВС является ОС.
Из прямоугольного треугольника МОС
tg∠MCO=MO/OC=2/(4√3/3)=√3/2
∠MCO=arctg (√3/2).

Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого четыре прямых угла. Размеры прямоугольника задаются длиной его сторон, обозначаемых обычно a и b. Прямоугольник, все стороны которого равны (a=b) называется квадратом.
Свойства прямоугольника
противолежащие стороны равны и параллельны друг другу;
диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам;
сумма квадратов диагоналей равна сумме квадратов всех (четырех) сторон.
Периметр P прямоугольника равен удвоенной сумме сторон, прилежащих к одному углу
P = 2(a + b).
Длина диагонали d прямоугольника вычисляется по теореме Пифагора:
d = √(a2 + b2).
Углы между диагоналями прямоугльника определяются соотношением сторон:
α = 2arctg(a/b),
β = 2arctg(b/a),
α + β = 180°.
Площадь S прямоугольника равна произведению сторон, прилежащих к одному углу:
S = a·b.
Также можно выразить площадь прямоугольника через длину диагоналей и угол между ними:
S = d2·sin(α/2)·cos(α/2).
Радиус описанной вокруг прямоугольника окружности равен половине длины диагонали:
R = √(a2 + b2)/2.
В прямоугольник (если он не квадрат) нельзя вписать окружность так, чтобы она касалась всех его сторон. Максимальный радиус окружности, которая может поместиться внутри прямоугольника, равен половине его меньшей стороны