Прямая CD проходит через вершину трикутника ABC та не лежить в плошині ABC .Е та F-середини відрізків в АВ та ВС. Знайдіть кут між прямими СД та ЕF,якщо ДСА=60°

1. Найдите длину отрезка ВС и координаты его середины, В (-2; 5) и С (4; 1).  

ВС = √((4-(-2))² + (1-5)²) = √(36 + 16) = √52 = 2√13.

Середина: ((-2+4)/2= 1: (5+1)/2= 3) = (1; 3).

2. Составьте уравнение окружности, центр которой находится в точке A(-1; 2) и которая проходит через точку M (1: 7).

Находим радиус R = √(((1+1)² + (7-2)²) = √29,

3. Найдите координаты вершины В параллелограмма ABCD, если А (3, -2), C(9; 8), D (-4; -5).

AB = DC, Δx(DC) = 13, Δy(DC) = 13,

xB = xA + Δx(DC) = 3 + 13 = 16,

yB = yA + Δy(DC) = -2 + 13 = 11. Точка В ((16; 11).

4. Составьте уравнение прямой, проходящей через точки А (1; 1) и B(-2: 13).

Вектор АВ = (-2-1=-3; 13-1 = 12) = (-3; 12).

Уравнение в каноническом виде с использованием точки А:  (х - 1)/(-3) = (у - 1)/12.

5. Найдите координаты точки, принадлежащей оси абсцисс и равноудалённой от точек A (-1; 4) и В (5; 2).

Точка С на оси Ох имеет координаты С(х; 0)

Равенство квадратов длин СА и СВ:

(х + 1)² + 16 = (х - 5)² + 4.

х² + 2х + 1 + 16 = х² - 10х + 25 + 4.

12х = 12,  х = 1.

Точка С(1; 0).

6. Составьте уравнение прямой, которая параллельна прямой у = -2x 7 и про проходит через центр окружности

x?+y?-8x+4y+12=0

Решение обеих задач основано на том, что у вписанного 4-угольника суммы противоположных углов равны 180°. Кроме того, вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен 90°.

1. ∠BAD=∠BCD=90° как опирающиеся на диаметр.
∠ADC= 180-100=80°

2.  ∠ABC=∠ADC=90° как опирающиеся на диаметр.
90°=∠ABC=2∠BDC⇒∠BDC=45°⇒∠ADC=90°-45°=45°
Про углы∠BAD и ∠BCD ничего сказать нельзя. Чтобы понять это, проводим диаметр AC, рисуем равнобедренный прямоугольный треугольник ABC (B оказывается на окружности), после чего произвольным образом выбираем точку D на окружности по другую сторону от диаметра.