Прямая l пересекает окружность ω в точках A и B. Рассмотрим одну из полуплоскостей, ограниченных прямой l. Из всех точек, принадлежащих окружности, отрезок AB виден под одним и тем же углом (обозначим его α). Докажите, что из точек вне окружности отрезок АВ виден под углом, меньшим α, а из точек внутри окружности - под углом, большим α.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны, в точке пересечения делятся пополам и разбивают ромб на 4 равных прямоугольных треугольника.
По теореме Пифагора сторона ромба
а²=(d₁/2)²+(d₂/2)²=(2x)²+(3x)²=13x²
а=х√13
Из формул для вычисления площади треугольника АОВ
S(Δ AOB)=AO·OB/2
и
S(Δ AOB)=AB·OE/2
находим OE
AO·OB=AB·OE
OE=2x·3x/х√13=6х/√13.
Из треугольника АОЕ по теореме Пифагора
AE²=AO²-EO²=(2x)²-(6x/√13)²=4x²-(36x²/13)=(52x²-36x²)/13=16x²/13
AE=4x/√13
S(Δ AOE)=AE·OE/2
(4x/√13)·(6x/√13)=54
24x²=54·13
x²=9·13/4
S(ромба)=a·h=(x√13)·2OE=(x√13)·2·(6x/√13)=12x²=12·(9·13/4)=27·13=
=351 кв. ед
Теперь, если прямые не пересекаются, то они параллельны. Но нам известно, что прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, соответственно, она не может быть параллельной (не пересекаться) со второй. Это следствие вытекает из аксиомы. Если бы она не пересекала вторую, значит и к первой была бы параллельна.
Примечание. Все вышесказанное справедливо для прямых относящихся (принадлежащих) одной плоскости.