1. Угол между наклонной к плоскости и плоскостью - это угол между наклонной и ее проекцией на плоскость. Искомый угол - угол МАО. Высота правильного треугольника равна h=(√3/2)*a = (√3/2)*2√3=3. АО=(1/3)*h = 1 (свойство медианы). Tg(<MAO) = MO/AO = √3.
ответ: α = arctg√3 = 60°
2. Искомый угол - угол между наклонной и ее проекцией, то есть угол АВК. Sin(<ABK) = KA/KB = AC*tg60/5 = 5√3/11. <ABK = arcsin(0,787) ≈ 51,9°.
3. Опустим перпендикуляры SP и SH из точки S к сторонам АВ и АD соответственно. Прямоугольные треугольники APS и AHS равны по гипотенузе и острому углу. Значит АР=АН и АРОН - квадрат. тогда АО = АН*√2 (диагональ квадрата), АS = 2*АН (в треугольнике ASH катет АН лежит против угла 30°, а AS - гипотенуза). Косинус искомого угла (между наклонной AS и плоскостью АВСD, равного отношению проекции наклонной к наклонной) = АО/AS = АН√2/(2*АН) = √2/2.
Определим вид треугольника. Есть правило:"Если с - большая сторона и если а + b > c, то треугольник существует и если a² + b² > c², то треугольник остроугольный, если a² + b² < c², то треугольник тупоугольный, если a² + b² = c², то треугольник прямоугольный." В нашем случае a² + b² < c², то есть треугольник тупоугольный. Итак, больший угол <A - против большей стороны а - тупой. Согласно теоремы синусов: а/SinA=b/SinB=c/SinC-2R, где R - радиус описанной вокруг треугольника окружности. С другой стороны, R=abc/4√p(p-a)(p-b)(p-c), где р - полупериметр треугольника. В нашем случае a=9, b=7, c=4. Тогда R=(9*7*4)/[4√(10*1*3*6)=(9*7)/(6√5)=21√5/10=2,1√5. Тогда 2R=4,2√5. Значит 9/sinA=4,2√5, отсюда SinA=9/4,2√5=9/9,39=0,958 то есть <A=107⁰ SinB=7/9,39=0,745 а SinC=4/9,39=0,426, то есть <B=48⁰, a <C=25⁰. Проверим: 107+48+25=180⁰ (что соответствует теореме о сумме углов треугольника). ответ: Данный нам треугольник тупоугольный с углами <A=107⁰, <B=48⁰ и <C=25⁰.
1. Угол между наклонной к плоскости и плоскостью - это угол между наклонной и ее проекцией на плоскость. Искомый угол - угол МАО. Высота правильного треугольника равна h=(√3/2)*a = (√3/2)*2√3=3. АО=(1/3)*h = 1 (свойство медианы). Tg(<MAO) = MO/AO = √3.
ответ: α = arctg√3 = 60°
2. Искомый угол - угол между наклонной и ее проекцией, то есть угол АВК. Sin(<ABK) = KA/KB = AC*tg60/5 = 5√3/11. <ABK = arcsin(0,787) ≈ 51,9°.
3. Опустим перпендикуляры SP и SH из точки S к сторонам АВ и АD соответственно. Прямоугольные треугольники APS и AHS равны по гипотенузе и острому углу. Значит АР=АН и АРОН - квадрат. тогда АО = АН*√2 (диагональ квадрата), АS = 2*АН (в треугольнике ASH катет АН лежит против угла 30°, а AS - гипотенуза). Косинус искомого угла (между наклонной AS и плоскостью АВСD, равного отношению проекции наклонной к наклонной) = АО/AS = АН√2/(2*АН) = √2/2.
ответ: искомый угол равен 45°.
если а + b > c, то треугольник существует и
если a² + b² > c², то треугольник остроугольный,
если a² + b² < c², то треугольник тупоугольный,
если a² + b² = c², то треугольник прямоугольный."
В нашем случае a² + b² < c², то есть треугольник тупоугольный.
Итак, больший угол <A - против большей стороны а - тупой.
Согласно теоремы синусов: а/SinA=b/SinB=c/SinC-2R, где R - радиус описанной вокруг треугольника окружности.
С другой стороны, R=abc/4√p(p-a)(p-b)(p-c), где р - полупериметр треугольника.
В нашем случае a=9, b=7, c=4.
Тогда R=(9*7*4)/[4√(10*1*3*6)=(9*7)/(6√5)=21√5/10=2,1√5. Тогда 2R=4,2√5.
Значит 9/sinA=4,2√5, отсюда SinA=9/4,2√5=9/9,39=0,958 то есть <A=107⁰
SinB=7/9,39=0,745 а SinC=4/9,39=0,426, то есть <B=48⁰, a <C=25⁰.
Проверим: 107+48+25=180⁰ (что соответствует теореме о сумме углов треугольника).
ответ: Данный нам треугольник тупоугольный с углами <A=107⁰, <B=48⁰ и <C=25⁰.