Прямая параллельная основаниям трапе- ции, делит её боковые стороны в отноше- нии 2 : 3, считая от меньшего основания. Найдите длину отрезка этой прямой внутри трапеции, если длины её оснований равны 5 и 8. Прямая, параллельная одной стороне тре- угольника, делит его медиану, проведён- ную к другой стороне, в отношении 5 : 2 от вершины. В каком отношении эта прямая делит третью сторону треугольника?

Арифмитическая прогрессия - это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен сумме предыдущего члена и некоторого постоянного числа, называемого разностью прогрессии (в данном случае- это 5). Смысл лишь в том, что в треугольнике сумма двух сторон больше третьей.
1) 1; 6 ; 11 -  не подходит, т.к. (1+6) меньше 11,
2) 2; 7; 12 - не подходит
3) 3; 8; 13 - не подходит
4) 4; 9; 14 - не подходит
5) 5; 10; 15 - не подходит
6) 6; 11; 16 - подходит, такого размера могут быть стороны треугольнике, т.к. (11+6) больше 16.
вроде так, но советую где-нибудь проверить.

Так как точка К симметрична точке М относительно прямой АС, то

КМ⊥АС и КО = ОМ.

Так как точка N симметрична точке М относительно прямой АВ, то

NM⊥AB и NP = PM.

Рассмотрим треугольники ВМР и СМО:

ВМ = МС, так как М - середина ВС,

∠ВРМ = ∠СОМ = 90°,

∠МВР = ∠МСО = 60° (так как треугольник АВС правильный), ⇒

ΔВМР = ΔСМО по гипотенузе и острому углу.

Из равенства треугольников следует:

      МР = МО, и значит МN = MK,

      ∠ВМР = ∠СМО.

АМ - медиана и высота ΔАВС, тогда

∠AMN = 90° - ∠ВМР

∠АМК = 90° - ∠СМО, а так как ∠ВМР = ∠СМО, то и

∠AMN = ∠АМК.

Итак, ΔMNK равнобедренный с основанием NK,

МТ - его биссектриса, проведенная к основанию, значит МТ - высота.

Следовательно NK⊥AM.