Прямая пересекает стороны ab и ac треугольника abc в точках p и m соответственно. найдите отношение площади треугольника apm к площади четырехугольника mcbp, если ap: pb=5: 4, am: mc=3: 5.

Вариант решения. 
Пусть S - площадь треугольника АВС. 
Необходимо найти отношение площадей треугольника АРМ и четырехугольника ВРМС. 
Сделаем рисунок и соединим В и М отрезком ВМ. 
Отношение площадей треугольников с равными высотами равно отношению их оснований. 
Высота ∆ АВМ и ∆ АВС одна и та же. 
Основания их относятся как АМ:АС = 3:(3+5) ,  
 Площадь ∆ АВМ равна 3/8 площади ∆ АВС, т.е. ³/₈S 
На том же основании площадь ∆ АРМ равна 5/9 площади ∆ АВМ ( у них одна и та же высота из М к АВ) и равна ⁵/₉ от ³/₈S 
Площадь ∆ АРМ=¹⁵/₇₂S=⁵/₂₄S
Площадь четырехугольника ВРМС равна 
S(ABC) - ⁵/₂₄(S(ABC) =¹⁹/₂₄ S(∆ ABC) 
Площади ∆ АРМ и четырехугольника ВРМС относятся как 
(⁵/₂₄S):¹⁹/₂₄ S)=5:19

Площадь треугольника APM=1/2*5*3*sinA
площадь треугольника ABC=1/2*(5+4)*(3+5)*sinA
площадь 4хугольника = S abc - S apm = 1/2*(5+4)*(3+5)*sinA - 1/2*5*3*sinA = 1/2*sinA*(9*8-15)

площадь треугольника APM / площадь 4хугольника = (1/2*15*sinA)/(1/2*sinA*(9*8-15)) = 15/(72-15) = 15/57