Прямокутник АВСД і квадрат АВМN розміщені в перпендикулярних
площинах. Відрізок МК, довжина якого дорівнює стороні ВС прямокутника,
перпендикулярний до площини ВМN. Пряма АК утворює з площиною
прямокутника кут . Визначте кут між прямою АК і площиною квадрата.

 Для параллелограмма есть формула 
 b²-а²=D*d*cos α  
где b и а- большая и меньшая стороны,  D и  d - большая и   меньшая диагонали, α - угол между диагоналями. 
 Подставим известные величины: 
36-16= D*d*cos 45º   
D*d*cos45º =20 
Одна из формул площади параллелограмма S=Dd* sinα:2 
Синус и косинус 45º равны⇒   
D*d*sin45º =20 
S =Dd* sin45º:2=20:2=10(ед. площади) 
--------- 
Данная  выше формула выводится из т.косинусов. 
------- 
Обозначим для удобства большую сторону ВС параллелограмма  b, меньшую  СD- а, угол COD-α 
 Рассмотрим треугольник ВОС  
Угол ВОС тупой и его косинус отрицательный. 
По т.косинусов  из ∆ ВОС 
 ВС²==ВО²+СО² -2ВО*СО*(-cosα) 
b²= (d/2)²+(D/2)² + 2(d/2)*D/2*cos α 
Из треугольника СОD по т.косинусов  
а²=(d/2)²+(D/2)² - 2(d/2)*D/2*cos α 
Вычтем из первого уравнения второе: 
b²-а²= (d/2)²+(D/2)² + 2(d/2)*D/2*cos α - (d/2)² - (D/2)² + 2(d/2)*D/2*cos α
 b²-а²= 4(d/2)*D/2*cosα=4Dd/4)*cos α 
 b²-а²=D*d*cos α

Площади подобных многоугольников относятся как квадраты их соответственных сторон.Пусть S1- площадь меньшего многоугольника, а S2 - большего. Пусть Ai - i-я сторона меньшего многоугольника (i=1,,n), а Bi - сторона большего многоугольника. Тогда Ai/Bi=√(S1/S2)=√(4/9)=2/3. Но тогда периметр меньшего многоугольника P1=∑Ai=2/3*∑Bi=P2, где P2- периметр большего многоугольника. По условию, P2=P1+10. А так как P1=2/3*P2, то получаем уравнение P2=2/3*P2+10, откуда P2/3=10 см и P2=30 см. А тогда P1=2/3*30=20 см. ответ: 20 см и 30 см.