Sавсд=20, стороны АВ=СД=а, ВС=АД=b Полученный четырехугольник, площадь которого нам нужно найти, обозначим ЕНОТ (это точки пересечения указанных прямых). Рассмотрим четырехугольник МВРД: стороны МВIIРД (противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны) и МВ=РД (по условию это половины противолежащих сторон). Следовательно ВРIIМД и ВР=МД, а четырехугольник МВРД является параллелограммом. Аналогично четырехугольник АNCQ - параллелограмм (по условию NCIIAQ, NC=AQ, значит ANIICQ, AN=CQ) Получается, что и четырехугольник ЕНОТ - параллелограмм. Найдем площадь параллелограмма Sмврд : Sмврд= Sавсд - 2Sамд=АВ*АД-2* (АМ*АД/2)=аb-(а/2*b)=ab/2 =Sавсд/2=20/2=10 Рассмотрим ΔАМД: его стороны пересекаются параллельными прямыми AN и CQ, которые отсекают на стороне АД равные отрезки AQ=QД, а значит и на стороне МД - равные отрезки ЕТ=ТД (по теореме Фалеса) Тоже самое и в ΔВСР: BN=NC, BH=HO, а также ВН=НО=ЕТ=ТД. Рассмотрим ΔАВН: в нем МЕ||ВН, АМ=МВ, значит МЕ- средняя линия этого треугольника МЕ=ВН/2=ЕТ/2. Сторона МД=МЕ+ЕТ+ТД=ЕТ/2+ЕТ+ЕТ=5ЕТ/2. ЕТ=2МД/5 Площадь ЕНОТ равна Sенот=h*ЕТ=h*2МД/5. Высота h четырехугольника ЕНОТ равна высоте четырехугольника МВРД. Исходя из Sмврд=h*МД, h=Sмврд/МД=10/МД. Получается, Sенот=10/МД*2МД/5=4. ответ:4
Сделаем рисунок. Линия пересечения плоскости и сферы - всегда окружность. Пусть диаметр одной окружности будет АВ, а ее центр - М. Диаметр второй- СД, а ее центр - К Центр сферы О удален от первой плоскости на 12 см. ОМ=12. ОК=9 см По т. Пифагора из тр-ка АМО найдем радиус окружности, по которой пересекает сферу первая плоскость: АМ=√(АО²-МО²)=√(400-144)=16 см Так же найдем радиус второй окружности: КД=√(ОД²-ОК²)=√(400-81)=√319 см Общая хорда сечений - линия ЕР пересечения окружностей. Хорда пересекает диаметры окружностей в общей точке Т. Диаметры окружностей перпендикулярны, следовательно, каждый из них перпендикулярен хорде и делит ее пополам. ЕТ=ТР=х. Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из пересекающихся хорд, равны: АТ*ВТ=ЕТ*ТР МТ=ОК=9 см ВТ=ВМ-МТ=16-9=7 АТ=АМ+МТ=16+9=25 25*7=х² х=√175=5√7 ЕР=2*5√7=10√7 Точно так же можно вычислить длину хорды через произведение отрезков диаметра СД второй окружности. СТ=( √319 -12) ТД=(√319+12) СТ*ТД=( √319 -12)*( √319 -12)=319-144=175 Хорда общая, и произведения отрезков диаметров обеих окружностей равны произведению половин хорды. Длина общей хорды равна 10√7 см
Полученный четырехугольник, площадь которого нам нужно найти, обозначим ЕНОТ (это точки пересечения указанных прямых).
Рассмотрим четырехугольник МВРД: стороны МВIIРД (противоположные стороны прямоугольника равны и параллельны) и МВ=РД (по условию это половины противолежащих сторон). Следовательно ВРIIМД и ВР=МД, а четырехугольник МВРД является параллелограммом.
Аналогично четырехугольник АNCQ - параллелограмм (по условию NCIIAQ, NC=AQ, значит ANIICQ, AN=CQ)
Получается, что и четырехугольник ЕНОТ - параллелограмм.
Найдем площадь параллелограмма Sмврд :
Sмврд= Sавсд - 2Sамд=АВ*АД-2* (АМ*АД/2)=аb-(а/2*b)=ab/2 =Sавсд/2=20/2=10
Рассмотрим ΔАМД: его стороны пересекаются параллельными прямыми AN и CQ, которые отсекают на стороне АД равные отрезки AQ=QД, а значит и на стороне МД - равные отрезки ЕТ=ТД (по теореме Фалеса)
Тоже самое и в ΔВСР: BN=NC, BH=HO, а также ВН=НО=ЕТ=ТД.
Рассмотрим ΔАВН: в нем МЕ||ВН, АМ=МВ, значит МЕ- средняя линия этого треугольника МЕ=ВН/2=ЕТ/2.
Сторона МД=МЕ+ЕТ+ТД=ЕТ/2+ЕТ+ЕТ=5ЕТ/2.
ЕТ=2МД/5
Площадь ЕНОТ равна Sенот=h*ЕТ=h*2МД/5.
Высота h четырехугольника ЕНОТ равна высоте четырехугольника МВРД. Исходя из Sмврд=h*МД, h=Sмврд/МД=10/МД.
Получается, Sенот=10/МД*2МД/5=4.
ответ:4
Линия пересечения плоскости и сферы - всегда окружность.
Пусть диаметр одной окружности будет АВ, а ее центр - М.
Диаметр второй- СД, а ее центр - К
Центр сферы О удален от первой плоскости на 12 см.
ОМ=12.
ОК=9 см
По т. Пифагора из тр-ка АМО найдем радиус окружности, по которой пересекает сферу первая плоскость:
АМ=√(АО²-МО²)=√(400-144)=16 см
Так же найдем радиус второй окружности:
КД=√(ОД²-ОК²)=√(400-81)=√319 см
Общая хорда сечений - линия ЕР пересечения окружностей.
Хорда пересекает диаметры окружностей в общей точке Т.
Диаметры окружностей перпендикулярны, следовательно, каждый из них перпендикулярен хорде и делит ее пополам.
ЕТ=ТР=х.
Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из пересекающихся хорд, равны:
АТ*ВТ=ЕТ*ТР
МТ=ОК=9 см
ВТ=ВМ-МТ=16-9=7
АТ=АМ+МТ=16+9=25
25*7=х²
х=√175=5√7
ЕР=2*5√7=10√7
Точно так же можно вычислить длину хорды через произведение отрезков диаметра СД второй окружности.
СТ=( √319 -12)
ТД=(√319+12)
СТ*ТД=( √319 -12)*( √319 -12)=319-144=175
Хорда общая, и произведения отрезков диаметров обеих окружностей равны произведению половин хорды.
Длина общей хорды равна 10√7 см