І. Прямые BM и BK – касательные к окружности с центром О. Угол МВК равен 60°. Во = 14 см. Найдите: а) радиус окружности, б) длину отрезка ВК, в) угол ВКО, г) угол МОК
2. В окружности с центром О проведены хорды AB и CD, которые пересекаются в точке Е. AE = 8 см,
BE = 16 см. Длина ЕD в 2 раза больше длины CE. Найдите ED.
ΔАВС: ∠АВС = 90°, ∠ВАС = 30°,
tg30° = BC / AB
1/√3 = 6 / AB
AB = 6√3 см
2.
Sabcd = ab = 192
Pabcd = 2(a + b) = 56
Получаем систему уравнений:
ab = 192
a + b = 28
b = 28 - a
28a - a² = 192 решим второе
a² - 28a + 192 = 0
D/4 = 14² - 192 = 196 - 192 = 4
a = 14 + 2 = 16 или a = 14 - 2 = 12
b = 12 b = 16
Итак, стороны прямоугольника 12 см и 16 см.
МО - перпендикуляр к плоскости прямоугольника.
Наклонные, проведенные из точки М, равны, значит равны и их проекции, т.е. АО = ОВ = ОС = OD, ⇒ О - точка пересечения диагоналей.
ΔАВС: ∠АВС = 90°, по теореме Пифагора
АС = √(АВ² + ВС²) = √(256 + 144) = √400 = 20 см
ОА = 10 см
ΔМОА: ∠МОА = 90°, по теореме Пифагора
МА = √(МО² + ОА²) = √(576 + 100) = √676 = 26 см
3.
Наклонные FA и FC равны, значит равны и их проекции:
ВА = ВС = х.
Из треугольника АВС по теореме косинусов:
АС² = АВ² + ВС² - 2·АВ·ВС·cos120°
36 = x² + x² - 2·x·x·(- 0,5)
36 = 2x² + x²
36 = 3x²
x² = 12
x = 2√3 cм
Из ΔAFC по теореме Пифагора
а² + а² = АС²
2а² = 36
a² = 18
a = 3√2 см
Из ΔABF по теореме Пифагора
FB = √(FA² - AB²) = √(18 - 12) = √6 см