Пусть ABCA1B1C1 — прямая призма, в основании которой лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC. AC=BC=4. Боковое ребро призмы равно 6. На гипотенузе AB отмечена точка F так, что AF=FB. Докажи, что угол A 1 FC прямой. Найди угол между плоскостями ABC и A 1 FC.
Рассмотрим одну из вершин трапеции и отрезки сторон, соединяющие эту вершину с точками, в которых окружность касается сторон.
Эти отрезки равны между собой как отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки.
Такое рассуждение можно провести для всех 4-х вершин.
Таким образом, наша трапеция "собрана" из отрезков 4-х видов (длин) , каждый повторяется по 2 раза. Назовём эти длины А, В, С и D.
Периметр трапеции - это 2(А+В+С+D)=12.
Далее, средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. Основания также складываются из наших 4-х отрезков. Сумма оснований будет (А+В+С+D)=12/2=6.
Полусумма - (А+В+С+D)/2=6/2=3.
и с центром в точке D и радиусом СD.
Обозначим середину ВС буквой М.
Нужно доказать, что биссектриса угла D пересекает ВС в точке М.
По условию АD=АВ+СD, следовательно, АВ=АК, КD=СD
Треугольник АВК равнобедренный, АЕ - биссектриса, ⇒
АЕ- ещё и высота, и медиана.
Высота треугольника перпендикулярна стороне, к которой проведена⇒
угол ВЕА=∠АЕК=90º.
Δ АDС равнобедренный, биссектриса DН- его высота и медиана. ⇒
угол СНD=∠КНD=90º.
В треугольнике КВС отрезки ВМ=МС по условию
КН=НС, т.к. DН - медиана,
ВЕ=ЕК, т.к. АЕ - медиана⇒
МН - средняя линия. и ЕМ- средняя линия
ЕМ=КН, МН=ЕК, ⇒
МН||ВК и
ЕМ||КН
∠МЕК=90º как смежный с ∠AEK, поэтому
∠ЕМН=90º как соответственный ∠ВЕМ при прямых MH||ВК и секущей МЕ.
Четырехугольник ЕМНК - прямоугольник. .
Через одну точку на прямой можно провести только один перпендикуляр. ⇒
НМ - продолжение DН. ⇒
Биссектриса DМ угла D проходит через середину стороны ВС, ч.т.д.