Пусть М и N – середины боковых сторон AB и CD трапеции ABCD.
Найдите MN, если AD = 19, BC = 13.

А) В прямоугольных тр-ках ДАО и ДВО NT⊥AO и МН⊥ВО.
Прямоугольные тр-ки ДАО и NAT подобны т.к. ∠А - общий. Аналогично подобны тр-ки ДВО и MКН, значит ОТ:ТА=ОН:НВ=ДN:NA=2:1.
ОА - радиус описанной окружности около основания пирамиды.
R=OA=a√3/3=30√3/3=10√3.
MN║АВ, MN║KP, значит КР║АВ, значит тр-ки АОВ и ТОН подобны по трём углам. 
ОЕ - радиус вписанной окружности в тр-ник АВС ⇒ ОЕ=СЕ/3.
ОО1:О1Е=ОТ:ТА=2:1 ⇒ О1Е=ОЕ/3=СЕ/9.
СО1=СЕ-О1Е-СЕ-СЕ/9=8·СЕ/9.
Итак, СО1:О1Е=(8СЕ/9):(СЕ/9)=8:1.
Доказано.

б) ДN:NA=2:1 ⇒ ДА:NA=3:1.
В подобных тр-ках ДАО и NAT ДA:NA=ДО:NT=3:1 ⇒ NT=ДО/3.
В тр-ке ДАО ДО²=АД²-ОА²=20²-(10√3)²=100,
ДО=10.
NT=10/3.
Так как КР║АВ, то тр-ки АВС и КРС подобны по трём углам. 
СО1:О1Е=8:1 ⇒ СЕ:СО1=9:8.
АВ:КР=СЕ:О1Е=9:8 ⇒ КР=8АВ/9=8·30/9=80/3.

В тр-ке ДАВ ДN:NA=2:1 ⇒ ДА:ДN=3:2.
AB:MN=ДА:ДN=3:2 ⇒ MN=2AB/3=2·30/3=20.
Площадь трапеции KMNP: 
S=NT·(KP+MN)/2=10·(80/3+20)/6=10(80/3+60/3)/6=10·140/18=700/9≈77.8 (ед²) - это ответ.

Диагональ делит прямоугольник пополам, образуя прямоугольный треугольник. Как известно, в прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла в 30 градусов является половиной гипотенузы (диагональ нашего прямоугольника). Следовательно, одна из сторон прямоугольника равна 4:2=2. Тогда для второй стороны применим теорему, обратную теореме Пифагора: возведем гипотенузу в квадрат (16) и катет в квадрат (4), по теореме найдем квадрат второго катета (от квадрата гипотенузы отнять квадрат одного из катетов) 16-4=12.
Корень из 12 равен двум корням из трех. Такой иррацональный корень.