a) A1B1C1D1 и B1A1AB:
Плоскость A1B1C1D1 проходит через 4 точки - A1, B1, C1 и D1, а плоскость B1A1AB проходит через 4 точки - B1, A1, A и B. Поскольку плоскость может быть определена тремя точками, чтобы определить их взаимное расположение, мы должны проверить, лежат ли все четыре точки (A1, B1, C1, D1) на одной плоскости или нет. Для этого мы можем проверить, удовлетворяют ли эти точки уравнению плоскости B1A1AB.
Уравнение плоскости в трехмерном пространстве задается в виде Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D - это коэффициенты плоскости, а x, y и z - координаты точки. Давайте возьмем точку A1 (координаты A1(x1, y1, z1)) и подставим ее в уравнение плоскости B1A1AB. Если уравнение истинно, то точка A1 принадлежит этой плоскости. Повторите эту процедуру для точек B1, C1 и D1.
Если все точки (A1, B1, C1, D1) удовлетворяют уравнению плоскости B1A1AB, то плоскость A1B1C1D1 и B1A1AB пересекаются в пространстве. Если хотя бы одна точка не удовлетворяет уравнению плоскости B1A1AB, то плоскость A1B1C1D1 и B1A1AB параллельны друг другу и не пересекаются.
б) ADD1A1 и ABCD:
Плоскость ADD1A1 проходит через 4 точки - A, D, D1 и A1, а плоскость ABCD проходит через 4 точки - A, B, C и D. Точка А общая для обеих плоскостей. Чтобы определить их взаимное расположение, мы должны проверить, лежат ли какие-либо из оставшихся трех точек (D, D1 и A1) на плоскости ABCD. Снова используем уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, и подставим координаты D, D1 и A1 в уравнение ABCD плоскости. Если хотя бы одна из этих точек удовлетворяет уравнению ABCD плоскости, то плоскость ADD1A1 и ABCD пересекаются. Если ни одна из этих точек не удовлетворяет уравнению ABCD плоскости, то плоскость ADD1A1 и ABCD параллельны друг другу и не пересекаются.
в) ABB1A1 и C1D1DC:
Плоскость ABB1A1 проходит через 4 точки - A, B, B1 и A1, а плоскость C1D1DC проходит через 4 точки - C1, D1, D и C. Поскольку эти плоскости не имеют ни одной общей точки, то они параллельны друг другу и не пересекаются.
г) BADC и ABB1A1:
Плоскость BADC проходит через 4 точки - B, A, D и C, а плоскость ABB1A1 проходит через 4 точки - A, B, B1 и A1. Обе плоскости проходят через общие точки A и B. Чтобы определить их взаимное расположение, мы должны проверить, лежат ли какие-либо из оставшихся двух точек (D и C), на плоскости ABB1A1. Снова используем уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, и подставим координаты D и C в уравнение плоскости ABB1A1. Если хотя бы одна из этих точек удовлетворяет уравнению плоскости ABB1A1, то плоскость BADC и ABB1A1 пересекаются. Если ни одна из этих точек не удовлетворяет уравнению плоскости ABB1A1, то плоскость BADC и ABB1A1 параллельны друг другу и не пересекаются.
д) CC1B1B и ADD1A1:
Плоскость CC1B1B проходит через 4 точки - C, C1, B1 и B, а плоскость ADD1A1 проходит через 4 точки - A, D, D1 и A1. Обе плоскости проходят через общие точки C и B. Чтобы определить их взаимное расположение, мы должны проверить, лежат ли какие-либо из оставшихся двух точек (C1 и B1) на плоскости ADD1A1. Снова используем уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, и подставим координаты C1 и B1 в уравнение плоскости ADD1A1. Если хотя бы одна из этих точек удовлетворяет уравнению плоскости ADD1A1, то плоскость CC1B1B и ADD1A1 пересекаются. Если ни одна из этих точек не удовлетворяет уравнению плоскости ADD1A1, то плоскость CC1B1B и ADD1A1 параллельны друг другу и не пересекаются.
4.42. Параллелограмм ABCD лежит в плоскости a и имеет стороны, параллельные прямым a и b. Это означает, что все вершины A, B, C и D принадлежат плоскости a. Следовательно, параллелограмм ABCD и плоскость a совпадают и лежат в одной плоскости.
4.43. Сколькими способами можно провести плоскости, параллельные плоскости b? У нас есть бесконечное количество параллельных плоскостей, проходящих через прямую a и параллельные плоскости b. Параллельная плоскость может быть проведена через прямую a, перпендикулярно или под углом к плоскости b. Так как у нас есть бесконечное количество углов, под которыми можно провести плоскость, параллельную b, то и количество параллельных плоскостей будет бесконечно.
Плоскость A1B1C1D1 проходит через 4 точки - A1, B1, C1 и D1, а плоскость B1A1AB проходит через 4 точки - B1, A1, A и B. Поскольку плоскость может быть определена тремя точками, чтобы определить их взаимное расположение, мы должны проверить, лежат ли все четыре точки (A1, B1, C1, D1) на одной плоскости или нет. Для этого мы можем проверить, удовлетворяют ли эти точки уравнению плоскости B1A1AB.
Уравнение плоскости в трехмерном пространстве задается в виде Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C и D - это коэффициенты плоскости, а x, y и z - координаты точки. Давайте возьмем точку A1 (координаты A1(x1, y1, z1)) и подставим ее в уравнение плоскости B1A1AB. Если уравнение истинно, то точка A1 принадлежит этой плоскости. Повторите эту процедуру для точек B1, C1 и D1.
Если все точки (A1, B1, C1, D1) удовлетворяют уравнению плоскости B1A1AB, то плоскость A1B1C1D1 и B1A1AB пересекаются в пространстве. Если хотя бы одна точка не удовлетворяет уравнению плоскости B1A1AB, то плоскость A1B1C1D1 и B1A1AB параллельны друг другу и не пересекаются.
б) ADD1A1 и ABCD:
Плоскость ADD1A1 проходит через 4 точки - A, D, D1 и A1, а плоскость ABCD проходит через 4 точки - A, B, C и D. Точка А общая для обеих плоскостей. Чтобы определить их взаимное расположение, мы должны проверить, лежат ли какие-либо из оставшихся трех точек (D, D1 и A1) на плоскости ABCD. Снова используем уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, и подставим координаты D, D1 и A1 в уравнение ABCD плоскости. Если хотя бы одна из этих точек удовлетворяет уравнению ABCD плоскости, то плоскость ADD1A1 и ABCD пересекаются. Если ни одна из этих точек не удовлетворяет уравнению ABCD плоскости, то плоскость ADD1A1 и ABCD параллельны друг другу и не пересекаются.
в) ABB1A1 и C1D1DC:
Плоскость ABB1A1 проходит через 4 точки - A, B, B1 и A1, а плоскость C1D1DC проходит через 4 точки - C1, D1, D и C. Поскольку эти плоскости не имеют ни одной общей точки, то они параллельны друг другу и не пересекаются.
г) BADC и ABB1A1:
Плоскость BADC проходит через 4 точки - B, A, D и C, а плоскость ABB1A1 проходит через 4 точки - A, B, B1 и A1. Обе плоскости проходят через общие точки A и B. Чтобы определить их взаимное расположение, мы должны проверить, лежат ли какие-либо из оставшихся двух точек (D и C), на плоскости ABB1A1. Снова используем уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, и подставим координаты D и C в уравнение плоскости ABB1A1. Если хотя бы одна из этих точек удовлетворяет уравнению плоскости ABB1A1, то плоскость BADC и ABB1A1 пересекаются. Если ни одна из этих точек не удовлетворяет уравнению плоскости ABB1A1, то плоскость BADC и ABB1A1 параллельны друг другу и не пересекаются.
д) CC1B1B и ADD1A1:
Плоскость CC1B1B проходит через 4 точки - C, C1, B1 и B, а плоскость ADD1A1 проходит через 4 точки - A, D, D1 и A1. Обе плоскости проходят через общие точки C и B. Чтобы определить их взаимное расположение, мы должны проверить, лежат ли какие-либо из оставшихся двух точек (C1 и B1) на плоскости ADD1A1. Снова используем уравнение плоскости: Ax + By + Cz + D = 0, и подставим координаты C1 и B1 в уравнение плоскости ADD1A1. Если хотя бы одна из этих точек удовлетворяет уравнению плоскости ADD1A1, то плоскость CC1B1B и ADD1A1 пересекаются. Если ни одна из этих точек не удовлетворяет уравнению плоскости ADD1A1, то плоскость CC1B1B и ADD1A1 параллельны друг другу и не пересекаются.
4.42. Параллелограмм ABCD лежит в плоскости a и имеет стороны, параллельные прямым a и b. Это означает, что все вершины A, B, C и D принадлежат плоскости a. Следовательно, параллелограмм ABCD и плоскость a совпадают и лежат в одной плоскости.
4.43. Сколькими способами можно провести плоскости, параллельные плоскости b? У нас есть бесконечное количество параллельных плоскостей, проходящих через прямую a и параллельные плоскости b. Параллельная плоскость может быть проведена через прямую a, перпендикулярно или под углом к плоскости b. Так как у нас есть бесконечное количество углов, под которыми можно провести плоскость, параллельную b, то и количество параллельных плоскостей будет бесконечно.
Пусть векторы x и y имеют вид:
x = (x1, x2)
y = (y1, y2)
Так как N - середина стороны AB, то отрезок AN можно представить в виде суммы векторов AM и MN.
AN = AM + MN
Аналогично, так как M - середина стороны BC, то отрезок CM можно представить в виде разности векторов CB и BM.
CM = CB - BM
Вспомним, что BM = AM, так как точка M является серединой отрезка AB.
BM = AM
Теперь мы можем записать векторы AN и CM, используя выражения AM и BM:
AN = AM + MN = BM + MN = AM + MN
CM = CB - BM = CB - AM
Для решения задачи нам нужно выразить вектор AC через векторы x и y. Для этого мы можем использовать свойство суммирования векторов.
AC = AN + NC = (AM + MN) + (CB - AM)
Теперь мы можем раскрыть скобки и сгруппировать подобные элементы:
AC = AM + MN + CB - AM
Замечаем, что AM и -AM сокращаются:
AC = CB + MN
Осталось выразить вектор MN через векторы x и y. Для этого вспомним, что M и N - середины соответствующих сторон:
MN = (1/2) * BC = (1/2) * (CB - CA)
Подставляем это выражение в формулу для вектора AC:
AC = CB + MN = CB + (1/2) * (CB - CA) = (3/2) * CB - (1/2) * CA
Таким образом, вектор AC выражается через векторы x и y следующим образом:
AC = (3/2) * CB - (1/2) * CA