Пусть точки K и L лежат на боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD причём AK:KB=DL:CL=m:n. Докажиет что и KLвектор=(n*ADвкектор+m*BCвектор)/(m+n)

ABCD - параллелограмм
AK и KD - биссектрисы
L BAK = L KAD = L A \2 = L 1
L AKB = KAD = L A \2 = L 1
L ADK = L KDC = L D \2 = L 2
Треугольник AKD:
L AKD = 180 - (L AKB + L ADK) = 180 - (L 1 + L 2)
Треугольник KCD:
L DKC = 180 - (L KDC + L C) 
L C = L A = 2 * L1
L KDC = L 2
=>
L DKC = 180 - (L 2 + 2 * L 1)
Угол BKD (сумма двух углов) равна:
L BKD = L AKB + L AKD = L 1 + 180 - (L 1 + L 2) = 180 - L 2
Тогда:
L DKC = 180 - L BKD = 180 - (180 - L 2) = L 2
=>
L DKC = L KDC =>
в треугольнике DKC
KC = CD
Но в параллелограмме AB = CD и ранее найдено AB = BK =>
BK = KC =>
точка С - середина ВС

Данная фигура - это трапеция. Площадь трапеции равна произведению полусуммы её оснований на высоту:

S=(9 см + 4 см)/2 × 4 см=26 см²

Чтобы вычислить периметр необходимо найти длины боковых сторон. Найдём их, используя теорему Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов). В первом треугольнике катеты равны 4 см.

(4² + 4²) см² = 32 см²

√(32 см²)=4√2 см

Во втором треугольнике один катет равен 4 см, а другой - 1 см.

(4² + 1²) см²=17 см²

√(17 см²)=√17 см

Отсюда периметр равен:

9 см + 4 см + 4√2 см + √17 см = 13 см + 4√2 см + √17 см (≈22,8 см)

ответ: S=26 см²; P=13 см + 4√2 см + √17 см