Р- b)(р – с), где р - 2
Задача 1. Докажите, что медиана
разбивает треугольник на два равнове.
ликих треугольника.
Решение. Пусть BD - медиана тре-
угольника ABC (рис. 9). Треугольники
ABD и CBD имеют равные стороны AD
и DC и общую высоту ВР, т.е. тре-
Угольники, на основании следствия 5,
равновелики: SABD = ScBD-
Задача 2. Дано 4 RCт пnlinicohn
Выведу обобщённую формулу для подобных задач про трапецию с известными диагоналями AC = x, BD = y, и суммой оснований BC + AD = m
Проведём из вершинны С прямую СЕ, параллельную BD, тогда BC || DE, CE || BD ⇒ BCED - параллелограми, ВС = DE, CE = BD = y
S (abcd) = (BC + AD)•CH/2 = (DE + AD)•CH/2 = AE•CH/2 = S (ace)
Площадь трапеции ABCD равна площади треугольника ACE
Найдём плошадь ΔАСЕ по формуле Герона: АС = х, CE = y, AE = m
Площадь трапеции с диагоналями х и у и суммой оснований равной m:S = √( p • (p - x) • (p - y) • (p - m) ) , где р = (х + y + m)/2Средняя линия трапеции: MN = (BC + AD)/2 = 5 ⇒ m = 10, x = 9, у = 17
S (abcd) = √(18•(18 - 9)(18 - 17)(18 - 10)) = √(18•9•1•8) = 36ответ: 36
Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника, из которых два подобны.
△АОD подобен △ВОС.
Отношение АО:ОС=13:3 ⇒
АD:ВС=13:3
∠СВD=∠ВDА по свойству углов при параллельных прямых и секущей
Но ВD - биссектриса ∠АВС ⇒
∠СВD=∠АВD, ⇒
∠ВDА=∠АВD.
△АВD - равнобедренный с равными углами при основании ВD и равными сторонами АВ=АD
Пусть коэффициент отношения оснований будет х.
Тогда ВС:АD=3х:13х
АВ=АD=13х
Опустим высоту ВН на АD
Треугольник АВН - прямоугольный.
АН=(АD-ВС):2=5х
АВ²-АН²=ВН²
169х²-25х²=576
144х²=576
х²=4
х=2 см
ВС=2*3=6 см
АD=2*13=26 см
Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований:
S ABCD= BH(BC+AD):2=24*16=384 см²
----
[email protected]