Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади этого треугольника к его полупериметру: . Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению его катетов. Перепишем формулу: . (Здесь и - катеты, - гипотенуза.)
Преобразуем числитель: .
Подставляем:
Значит, . Но в то же время .
Получаем систему уравнений: Вычитая второе уравнение из первого, получаем , откуда см.
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы этого треугольника. Получаем, что см.
Достаточно доказать, что RPTQ – равнобокая трапеция. Четырёхугольник ARDQ – вписанный, поэтому ∠RQD = ∠DAR. Также, поскольку четырёхугольник ABCD – вписанный, то ∠BCD = 180° – ∠DAR. Cледовательно, ∠RQD + ∠BCD = 180°, то есть прямые PT и RQ параллельны.
Докажем теперь, что в трапеции RPTQ диагонали равны. Четырёхугольник APCQ вписан в окружность с диаметром AC, поэтому PQ = AC·sin∠BCD. Aналогично, RT = BD·sin∠ABC. Но из вписанности четырёхугольника ABCD следует, что Значит, PQ = RT, то есть трапеция – равнобокая.
Площадь прямоугольного треугольника равна полупроизведению его катетов. Перепишем формулу:
(Здесь
Преобразуем числитель:
Подставляем:
Значит,
Получаем систему уравнений:
Вычитая второе уравнение из первого, получаем
Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы этого треугольника. Получаем, что
Достаточно доказать, что RPTQ – равнобокая трапеция. Четырёхугольник ARDQ – вписанный, поэтому ∠RQD = ∠DAR. Также, поскольку четырёхугольник ABCD – вписанный, то ∠BCD = 180° – ∠DAR. Cледовательно, ∠RQD + ∠BCD = 180°, то есть прямые PT и RQ параллельны.
Докажем теперь, что в трапеции RPTQ диагонали равны. Четырёхугольник APCQ вписан в окружность с диаметром AC, поэтому
PQ = AC·sin∠BCD. Aналогично, RT = BD·sin∠ABC. Но из вписанности четырёхугольника ABCD следует, что
Значит, PQ = RT, то есть трапеция – равнобокая.