Радіус кола, описаного навколо правильного многокутника, дорівнює 6 см, а радіус кола, вписаного в нього, - 3см. Знайти сторону многокутника і кількість його сторін.

Обозначим прямоугольник АВСД. Диагональ АС. На неё из вершины В опущен перпендикуляр ВК, и по условию АК=9, КС=16. ВК это общая высота в прямоугольных треугольниках АВК и СВК. Отсюда по теореме Пифагора АВ квадрат-АК квадрат=ВС квадрат-КС квадрат. Или АВ квадрат-81=ВС квадрат-256. Отсюда ВС квадрат=АВ квадрат+175.  В треугольнике АВС также АВ квадрат+ ВС квадрат= АС квадрат. Или АВ квадрат+ВС квадрат=(9+16)квадрат. АВ квадрат+ ВС квадрат=625. Подставим сюда ранее найденное выражение для ВС квадрат и получим АВ квадрат+(АВ квадрат+175)=625. Отсюда АВ=15. ВК=корень из(АВ квадрат-АК квадрат)=корень из(225-81)=12. Искомый тангенс угла ВАК, tg=ВК/АК=12/9=4/3.

∢Δ СА₁О - прямоугольный, т.к. АА₁-высота к стороне СБ

< А₁ОС=60°, <СА₁О=90° ⇒ <А₁СО=180-(90+60)=30°

∢Δ СС₁Б - прямоугольный, т.к. СС₁ - высота к стороне  АБ

<БСС₁=<А₁СО=30°, <СС₁Б=90° ⇒ <СБС₁=180-(90+30)=60° 

<АБС =180°-<СБС₁ = 180-60=120°

ответ:   <АБС = 120° 

или через подобие тр-ков

  ∢Δ СА₁О подобен  ∢Δ СС₁Б по 2-м углам

  <СА₁О= <СС₁Б =90°,  <БСС₁=<А₁СО - общий = 30° ⇒ <СБС₁=<А₁ОС=60° 

  <АБС =180°-<СБС₁ = 180-60=120°

ответ:   <АБС = 120°