.Радиус окружности, описанной около основания правильной четырехугольной пирамиды, равен 3√2 см. Апофема равна 10 см. Вычислите боковую поверхность пирамиды

Две прямые лежат в одной плоскости, если смешанное произведение их направляющих векторов и третьего вектора, проведённого между двумя точками, лежащими на этих прямых, равно 0 . (При равенстве нулю смешанного произведения делаем вывод о компланарности трёх векторов.)

Из уравнения прямых можно выписать координаты направляющих векторов и координаты точек, лежащих на прямых .

\begin{gathered}l_1:\; \frac{x-1}{2}=\frac{y+2}{-1}=\frac{z}{-2}\; \; ,\; \; \vec{s}_1=(2,-1,-2)\; ,\; \; M_1(1,-2,0) l_2:\; \frac{x+1}{1}=\frac{y+11}{2}=\frac{z+6}{1}\; \; ,\; \; \vec{s}_2=(1,2,1 )\; \; ,\; \; M_2(-1,-11,-6)overline {M_2M_1}=(1+1,-2+11,0+6)=(2,9,6)(\overline {M_2M_1},\vec{s}_1,\vec{s}_2)= \left|\begin{array}{ccc}2&9&6\\2&-1&-2\\1&2&1\end{array}\right|= 2(-1+2)-9(2+2)+6(4+1)=0\end{gathered}

l

1

:

2

x−1

=

−1

y+2

=

−2

z

,

s

1

=(2,−1,−2),M

1

(1,−2,0)

l

2

:

1

x+1

=

2

y+11

=

1

z+6

,

s

2

=(1,2,1),M

2

(−1,−11,−6)

M

2

M

1

=(1+1,−2+11,0+6)=(2,9,6)

(

M

2

M

1

,

s

1

,

s

2

)=

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2

2

1

9

−1

2

6

−2

1

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

=2(−1+2)−9(2+2)+6(4+1)=0

Задание 6

Дано:

ΔADC - равнобедренный

BK = KD

AC = CD

∠BCK = 30°

Найти:

∠CBA - ?

ΔADC - равнобедренный (по рис.) ⇒ ∠B = ∠D (по свойству равнобедр. треуг.).

Отрезок CK - медина (делит противолежащую сторону на две равные) является высотой (по свойству равнобедр. треуг.) ⇒ ∠CKB = 90°.

∠CBK + ∠CKB + ∠BCK = 180° (по свойству треуг.)

∠CBK + 90° + 30° = 180°

∠CBK = 180° - (90° + 30°)

∠CBK = 60°

∠CBK и ∠CBA - смежные ⇒ ∠CBK + ∠CBA = 180°

60° + ∠CBA = 180°

∠CBA = 120°

ответ: ∠CBA = 120°.

Задание 7

Дано:

ΔCAD - равнобедренный

CA = DA

CB = BD

Найти:

∠CBA - ?

ΔCAD - равнобедр. (по рис.)

⇒ Отрезок BA - медианой (делит противолежащую сторону на две равные), является высотой (по свойству равнобедр. треуг.) и образует углы (∠CBA и ∠DBA) в 90°.

⇒ ∠CBA = 90°

ответ: ∠CBA = 90°.

Задание 8

Дано:

ΔDBK - равнобедр.

DM = MK

DB = BK

∠K = 70°

Найти:

∠CBA - ?

ΔDBE - равнобедр. (по рис.)

BM - медиана (делит противолежащую сторону на две равные)

⇒ BM - биссектриса и высота (по свойству равнобедр. треуг.)

⇒ ∠BME = 90°.

∠K + ∠BME + ∠MBE = 180° (по свойству треуг.)

⇒ 70° + 90° + ∠MBE = 180°

∠MBE = 180° - (70° + 90°)

∠MBE = 20°

Т.к. BM - биссектриса, то ∠DBE = 2∠MBE = 40°

∠DBE и ∠CBA - вертикальные

⇒ ∠DBE = ∠CBA = 40°

ответ: ∠CBA = 40°.