Радиус окружности описанной около правильного многоугольника, равна 6 см, а радиус окружности вписанной в него 3 см. Найдите количество сторон многоугольника и длину его сторон.
В основании правильной треугольной пирамиды SABC лежит правильный (равносторонний) треугольник ABC. Высота SO правильной треугольной пирамиды проектируется в центр вписанной в △ABC и описанной около △ABC окружности ( в равностороннем треугольнике они совпадают).
r=OD=4 ед- по условию.
Радиус вписанной окружности в равностороннем треугольнике:
a - сторона △ABC.
а = BC = r • 2√3 = 4 • 2√3 = 8√3 ед
Площадь боковой грани (площадь треугольника) вычисляется по формуле:
S= ½ • BC • SD
где SD - высота боковой грани (апофема пирамиды). SD⟂BC.
S=20√3 - по условию
Следовательно:
½ • 8√3 • SD = 20√3
SD = 20 : 4 = 5 ед
Поскольку высота SO перпендикулярна к площади основания (△ABC), то она перпендикулярна к любой прямой, принадлежащей основанию. => SO⟂OD.
В прямоугольном треугольнике SOD(∠O=90°) по теореме Пифагора найдём катет SO:
Точка Р лежит внутри равнобедренного △ABC (AB=BC). ∠ABC=80°, ∠PAC=40°, ∠ACP=30°. Требуется найти ∠BPC.
Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то
∠BAC=∠BCA=(180°-∠ABC)÷2=(180°-80°)÷2= 50°
∠BCP =∠BCA-∠ACP=50°-30°= 20°,
∠BAP =∠BAC-∠PAC=50°-40°= 10°.
Построим на стороне ABC равносторонний треугольник ABD.
В равностороннем треугольнике все углы равны 60°: ∠DAB=∠ABD=∠ADB=60°.
Проведём диагональ CD в четырёхугольнике ABCD. Так как AB=BC по условию, а BD=AB по построению, то BD= BC. Следовательно △CBD - равнобедренный. ∠BDC=∠BCD=(180°-∠DBC)÷2=(180°-(∠ABD+∠ABC))÷2=(180°-(60°+80°))÷2=20°.
Так как ∠BCP также равен 20°, то точка P лежит на стороне CD.
Высота равна 3 ед
Объяснение:
В основании правильной треугольной пирамиды SABC лежит правильный (равносторонний) треугольник ABC. Высота SO правильной треугольной пирамиды проектируется в центр вписанной в △ABC и описанной около △ABC окружности ( в равностороннем треугольнике они совпадают).
r=OD=4 ед- по условию.
Радиус вписанной окружности в равностороннем треугольнике:
a - сторона △ABC.
а = BC = r • 2√3 = 4 • 2√3 = 8√3 ед
Площадь боковой грани (площадь треугольника) вычисляется по формуле:
S= ½ • BC • SDгде SD - высота боковой грани (апофема пирамиды). SD⟂BC.
S=20√3 - по условию
Следовательно:
½ • 8√3 • SD = 20√3
SD = 20 : 4 = 5 ед
Поскольку высота SO перпендикулярна к площади основания (△ABC), то она перпендикулярна к любой прямой, принадлежащей основанию. => SO⟂OD.
В прямоугольном треугольнике SOD(∠O=90°) по теореме Пифагора найдём катет SO:
SO² = SD²-OD² = 5²-4² = 25-16 = 9
SO = √9 = 3 ед
∠PPC=100°
Объяснение:
Точка Р лежит внутри равнобедренного △ABC (AB=BC). ∠ABC=80°, ∠PAC=40°, ∠ACP=30°. Требуется найти ∠BPC.
Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то
∠BAC=∠BCA=(180°-∠ABC)÷2=(180°-80°)÷2= 50°
∠BCP =∠BCA-∠ACP=50°-30°= 20°,
∠BAP =∠BAC-∠PAC=50°-40°= 10°.
Построим на стороне ABC равносторонний треугольник ABD.
В равностороннем треугольнике все углы равны 60°: ∠DAB=∠ABD=∠ADB=60°.
Проведём диагональ CD в четырёхугольнике ABCD. Так как AB=BC по условию, а BD=AB по построению, то BD= BC. Следовательно △CBD - равнобедренный. ∠BDC=∠BCD=(180°-∠DBC)÷2=(180°-(∠ABD+∠ABC))÷2=(180°-(60°+80°))÷2=20°.
Так как ∠BCP также равен 20°, то точка P лежит на стороне CD.
△ADP.
∠DAP=∠DAB+∠BAP=60°+10°= 70°.
∠ADP=∠ADB-∠BDC=60°-20°= 40°.
Следовательно ∠DPA=180°-∠DAP-∠ADP=180°-70°-40°= 70°.
Таким образом ∠DAP=∠DPA, следовательно △ADP - равнобедренный.
DA=DP - как боковые стороны равнобедренного △ADP. Но:
DA=DB - как стороны равностороннего △ABD. Значит:
DP=DB. => △DBP - равнобедренный, ∠DBP=∠DPB=(180°-∠BDC)÷2=(180°-20°)÷2=80° - как углы при основании равнобедренного треугольника.
∠DPB и ∠BPC - смежные углы. Их сумма равна 180°:
∠BPC=180°-∠DPB=180°-80°= 100°.