Радиус окружности описанной около прямоугольного треугольника, равен 10, а один из острых углов треугольника равен 30 градусам. найдите площадь треугольника.
Пусть CH - высота данного треугольника, тогда отрезок HB - проекция катета BC на гипотенузу, HB=6(см).Обозначим CH=h. Так как высота прямоугольного треугольника равна среднему геометрическому отрезков гипотенузы, на которые она ее разбивает, то можно записать h=√AH*HB или h^2=AH*HB=6AH. (1) C другой стороны, по теореме Пифагора из прямоугольного ACH h^2=AC^2-AH^2= =16-AH^2. Подставим это в уравнение (1) и получим 6AH=16-AH^2. Решая это квадратное уравнение, получаем,что AH=2 (см)(второй корень не подходит, так как он отрицательный). Теперь можно найти и высоту h данного треугольника: h=√16-4=2√3 (см). Площадь треугольника ABC: S(ABC)=1/2*h*AB=1/2*2√3*8=8√3 (см^2). ответ:8√3
1) Угол BCA - общий для данных треугольников. 2) По теореме о секущих (Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть.) получим,что CL*AC=CK*BC или CL/BC=CK/AC. Из этого следует,что треугольники ABC и CLK подобны (по второму признаку подобия треугольников: если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, а стороны, образующие этот угол, пропорциональны в равном отношении, то такие треугольники подобны.).
Так как высота прямоугольного треугольника равна среднему геометрическому
отрезков гипотенузы, на которые она ее разбивает, то можно записать
h=√AH*HB или h^2=AH*HB=6AH. (1)
C другой стороны, по теореме Пифагора из прямоугольного ACH h^2=AC^2-AH^2=
=16-AH^2. Подставим это в уравнение (1) и получим
6AH=16-AH^2. Решая это квадратное уравнение, получаем,что AH=2 (см)(второй корень не подходит, так как он отрицательный).
Теперь можно найти и высоту h данного треугольника: h=√16-4=2√3 (см).
Площадь треугольника ABC: S(ABC)=1/2*h*AB=1/2*2√3*8=8√3 (см^2).
ответ:8√3
2) По теореме о секущих (Если из точки, лежащей вне окружности, проведены две секущие, то произведение одной секущей на её внешнюю часть равно произведению другой секущей на её внешнюю часть.) получим,что
CL*AC=CK*BC или CL/BC=CK/AC.
Из этого следует,что треугольники ABC и CLK подобны (по второму признаку подобия треугольников: если угол одного треугольника равен углу другого треугольника, а стороны, образующие этот угол, пропорциональны в равном отношении, то такие треугольники подобны.).