Железнодорожная линия между городами образует треугольник АЧТ, где А - Алматы, Ч - Чу и Т -Тараз. Углы поворотов при этих городах найдем по теореме косинусов.
Если известна некоторая точка пространства М(x0;y0;z0) , принадлежащая прямой, и направляющий вектор p(p1;p2;p3) данной прямой, то канонические уравнения этой прямой выражаются формулами:
(x-x0)/p1 = (y-y0)/p2 = (z-z0)/p3.
В нашем случае точка М1(1;-2;-1) принадлежит прямой l1, направляющий вектор которой р1{1;-1;-2}. Tочка М2(-1;1;-1) принадлежит прямой l2, направляющий вектор которой р2{-1;2;1}.
Найдем векторное произведение векторов р1 и р2. По определению это произведение дает нам вектор, перпендикулярный плоскости параллелограмма, построенного на этих векторах.
| i j k |
p = (р1*р2) = | 1 -1 -2 | = (-1 - (-4))·i - (1 - 2)·j + (2-1)·k. Или
| -1 2 1 |
p{3;1;1} - направляющий вектор искомого общего перпендикуляра.
Перепишем уравнения первой прямой в параметрической форме:
x = t +1
L1: (x - 1)/1 = (y+2)/-1 = (z+1)/-2 => y = -t -2
z = -2t -1
Обозначим точку Т1 на прямой L1 через параметр tо:
x1 = tо +1
Т1: y1 = -tо - 2
z1 = -2tо-1
Или Т1( tо +1;-tо -2;-2tо -1).
То же самое со второй прямой:
x = -s -1
L2: (x + 1)/-1 = (y-1)/2 = (z+1)/1 => y = 2s +1
z = s -1
Обозначим точку Т2 на прямой L2 через параметр sо:
x2 = -sо - 1
Т2: y2 = 2sо + 1
z2 = sо - 1
Или Т2(-sо - 1;2sо + 1;sо - 1).
Вектор Т1Т2, как и вектор р{3;1;1} - направляющий вектор искомого общего перпендикуляра.
Находим координаты вектора Т1Т2 по известному правилу:
∠А = 13°. ∠Ч = 150,7°. ∠Т = 16,3°.
Объяснение:
Железнодорожная линия между городами образует треугольник АЧТ, где А - Алматы, Ч - Чу и Т -Тараз. Углы поворотов при этих городах найдем по теореме косинусов.
По теореме косинусов:
СosA = (260²+453²-208²)/(2·260·453) = 229454/235560 ≈ 0,974.
СosЧ = (260²+208²-453²)/(2·260·208) = -94345/108160 ≈ -0,872.
СosТ = (208²+453²-260²)/(2·208·453) = 180873/188448 ≈ 0,960.
∠А = arccos(0,974) ≈ 13°.
∠Ч = arccos(-0,872) ≈ 150,7°.
∠Т = arccos(0,960) ≈ 16,3°.
Проверка: 13+150,7+16,3 =180°
(x -21/11)/(-9/11) = (y+32/11)/-(3/11) = (z+31/11)/(-3/11).
Объяснение:
Если известна некоторая точка пространства М(x0;y0;z0) , принадлежащая прямой, и направляющий вектор p(p1;p2;p3) данной прямой, то канонические уравнения этой прямой выражаются формулами:
(x-x0)/p1 = (y-y0)/p2 = (z-z0)/p3.
В нашем случае точка М1(1;-2;-1) принадлежит прямой l1, направляющий вектор которой р1{1;-1;-2}. Tочка М2(-1;1;-1) принадлежит прямой l2, направляющий вектор которой р2{-1;2;1}.
Найдем векторное произведение векторов р1 и р2. По определению это произведение дает нам вектор, перпендикулярный плоскости параллелограмма, построенного на этих векторах.
| i j k |
p = (р1*р2) = | 1 -1 -2 | = (-1 - (-4))·i - (1 - 2)·j + (2-1)·k. Или
| -1 2 1 |
p{3;1;1} - направляющий вектор искомого общего перпендикуляра.
Перепишем уравнения первой прямой в параметрической форме:
x = t +1
L1: (x - 1)/1 = (y+2)/-1 = (z+1)/-2 => y = -t -2
z = -2t -1
Обозначим точку Т1 на прямой L1 через параметр tо:
x1 = tо +1
Т1: y1 = -tо - 2
z1 = -2tо-1
Или Т1( tо +1;-tо -2;-2tо -1).
То же самое со второй прямой:
x = -s -1
L2: (x + 1)/-1 = (y-1)/2 = (z+1)/1 => y = 2s +1
z = s -1
Обозначим точку Т2 на прямой L2 через параметр sо:
x2 = -sо - 1
Т2: y2 = 2sо + 1
z2 = sо - 1
Или Т2(-sо - 1;2sо + 1;sо - 1).
Вектор Т1Т2, как и вектор р{3;1;1} - направляющий вектор искомого общего перпендикуляра.
Находим координаты вектора Т1Т2 по известному правилу:
Т1Т2 = {-sо - 1- (tо +1);2sо + 1 -(-tо -2);sо - 1 - (-2tо-1)} или
Т1Т2 = {-sо - tо -2;2sо +tо +3;sо +2tо)}.
Так как векторы р{3;1;1} и Т1Т2{-sо - tо -2;2sо +tо +3;sо +2tо)} коллинеарны, то
Т1Т2{-sо - tо -2;2sо +tо +3;sо +2tо)} = k*р{3;1;1}. =>
-sо - tо -2 = 3k (1)
2sо +tо +3= k (2)
sо +2tо = k (3)
Имеем систему из трех уравнений с тремя неизвестными.
2sо +tо +3= sо +2tо => to = so+3
-so -so-3 -2 = 3(sо +2tо) => -so -so-5 = 3(sо +2(so+3)).
so = -23/11. => to = 10/11 => k= -3/11. =>
T1(21/11;-32/11;-31/11).
T2(12/11;-35/11;-34/11).
Проверим:
Подставим координаты точки Т1 в уравнение прямой L1 =>
10/11 = 10/11 = 10/11. OK!
Подставим координаты точки Т2 в уравнение прямой L2 =>
-23/11 = -23/11 = -23/11. OK!
Точки Т1 и Т2 принадлежат соответственно прямым L1 и L2.
Ну и окончательно:
уравнение прямой, проходящей через две точки (Т1 и Т2) по формуле
(x - x1)/(x2-x1) = (y - y1)/(y2-y1) = (z - z1)/(z2-z1):
L3: (x -21/11)/(-9/11) = (y+32/11)/-(3/11) = (z+31/11)/(-3/11).
Проверка:
Вектор Т1Т2 = {23/11-10/11-22/11;-46/11+10/11+33/11;-23/11+2011} или
Т1Т2{-9/11;-3/11;-3/11}.
Вектор р1{1;-1;-2}.
Cкалярное произведение этих векторов: (-9/11 + 3/11 + 6/11) = 0 =>
Вектора перпендикулярны!
Вектор р2{-1;2;1}.
Cкалярное произведение этих векторов: (9/11 - 6/11 - 3/11) = 0 =>
Вектора перпендикулярны!
То есть вектор, проходящий через точки Т1 и Т2 перпендикулярен направляющим векторам прямых L1 и L2 =>
Прямая L3 является общим перпендикуляром к прямым L1 и L2.